Luogu4774 NOI2018 屠龙勇士 ExCRT

传送门

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原来NOI也会出裸题啊……

用multiset求出对付每一个BOSS使用的武器威力\(ATK_i\)，可以得到\(m\)个式子\(ATK_ix \equiv a_i \mod p_i\)

看起来可以直接魔改式子了……

等一下！如果\(a_i > p_i\)，\(ATK_ix<a_i\)没把BOSS打死怎么办QAQ

看数据范围，没有特性1（\(a_i \leq p_i\)）的点似乎\(p_i=1\)？那不只要保证攻击次数能够把所有BOSS血量打到\(\leq 0\)就行了，，，于是这个顾虑就消除了（虽然要写数据分治）

考虑上面得到的式子，很像ExCRT，但ExCRT的式子都长\(x \equiv b_i \mod p_i\)，这里的式子不长这样。于是考虑改式子。

如果\(gcd(ATK_i , p_i) \not\mid a_i\)，显然原式无解。

当\(gcd(ATK_i , p_i) \mid a_i\)时，求出\(ATK_ix + p_iy = gcd(ATK_i,p_i)\)的一组解\((x_1,y_1)\)，那么\(ATK_ix + p_iy = a_i\)的一组解就是\((\frac{x_1a_i}{gcd(ATK_i,p_i)} , \frac{y_1a_i}{gcd(ATK_i,p_i)})\)。

那么\(ATK_ix \equiv a_i \mod p_i\)的通解就是\(x \equiv \frac{x_1a_i}{gcd(ATK_i,p_i)} \mod \frac{p_i}{gcd(ATK_i,p_i)}\)。

这个式子长得跟ExCRT的式子相同了，直接套板子即可。

值得注意的是，因为模数可能超过int，导致可能出现乘法爆long long。解决方案是log龟速乘/long double型快速乘/__int128

还有一个细节是：因为\(a_i \leq p_i\)所以最后答案可能是\(0\)，此时应该输出的是最后的模数。

#include<bits/stdc++.h>
//this code is written by Itst
using namespace std;
#define int long long
int read(){
	int a = 0;
	char c = getchar();
	while(!isdigit(c)) c = getchar();
	while(isdigit(c)){
		a = a * 10 + c - 48;
		c = getchar();
	}
	return a;
}
const int _ = 1e5 + 7;
map < int , int > swr;
int hp[_] , p[_] , atk[_] , Atk[_] , N , M;
void exgcd(int a , int b , int &d , int &x , int &y){
	b == 0 ? (d = a , x = 1 , y = 0) : (exgcd(b , a % b , d , y , x) , y -= a / b * x);
}
int mul(int x , int y , int MOD){
	int sum = 0;
	x %= MOD; y %= MOD;
	while(y){
		if(y & 1) sum = sum + x >= MOD ? sum + x - MOD : sum + x;
		x = x + x >= MOD ? x + x - MOD : x + x;
		y >>= 1;
	}
	return sum;
}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in","r",stdin);
	//freopen("out","w",stdout);
#endif
	for(int T = read() ; T ; --T){
		swr.clear();
		N = read(); M = read();
		for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
			hp[i] = read();
		bool sp = 1;
		for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
			sp &= (p[i] = read()) == 1;
		for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
			atk[i] = read();
		for(int i = 1 ; i <= M ; ++i)
			++swr[read()];
		for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){
			auto t = swr.upper_bound(hp[i]);
			if(t != swr.begin()) --t;
			Atk[i] = t->first;
			if(!--t->second) swr.erase(t);
			++swr[atk[i]];
		}
		int Mod = 1 , ans = 0;
		if(sp)
			for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
				ans = max(ans , hp[i] / Atk[i] + (bool)(hp[i] % Atk[i]));
		else
			for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){
				int a , x , y;
				exgcd(Atk[i] , p[i] , a , x , y);
				if(hp[i] % a){
					ans = -1;
					break;
				}
				int mod = p[i] / a;
				if(x < 0) x += mod;
				int tp = mul(x , hp[i] / a , mod);
				int xs = (mod + tp - ans % mod) % mod;
				exgcd(Mod , mod , a , x , y);
				if(xs % a){
					ans = -1;
					break;
				}
				int newMod = Mod / a * mod;
				if(x < 0) x += mod / a;
				ans = (mul(mul(x , xs / a , mod / a) , Mod , newMod) + ans) % newMod;
				Mod = newMod;
			}
		cout << (ans ? ans : Mod) << endl;
	}
	return 0;
}