BZOJ3990 [SDOI2015]排序【搜索】

题目

小A有一个1-2^{N的排列A[1..2}N],他希望将A数组从小到大排序,小A可以执行的操作有N种,每种操作最多可以执行一次,对于所有的i(1<=i<=N),第i中操作为将序列从左到右划分为2^{{N-i+1}段,每段恰好包括2}{i-1}个数,然后整体交换其中两段.小A想知道可以将数组A从小到大排序的不同的操作序列有多少个,小A认为两个操作序列不同,当且仅当操作个数不同,或者至少一个操作不同(种类不同或者操作位置不同).

下面是一个操作事例:

N=3,A[1..8]=[3,6,1,2,7,8,5,4].

第一次操作,执行第3种操作,交换A[1..4]和A[5..8],交换后的A[1..8]为[7,8,5,4,3,6,1,2].

第二次操作,执行第1种操作,交换A[3]和A[5],交换后的A[1..8]为[7,8,3,4,5,6,1,2].

第三次操作,执行第2中操作,交换A[1..2]和A[7..8],交换后的A[1..8]为[1,2,3,4,5,6,7,8].

输入格式

第一行,一个整数N

第二行,2^{N个整数,A[1..2}N]

输出格式

一个整数表示答案

输入样例

7 8 5 6 1 2 4 3

输出样例

提示

100%的数据, 1<=N<=12.

题解

我们可以大力猜想出操作的顺序可以是任意的

随便试试就会发现

仔细观察发现，所有的操作区间只有完全包含关系 or 不相交

对于一个合法操作序列中的相邻两个操作$a$和$b$，我们尝试交换其顺序

①若$a$、$b$不相交，那么显然无影响

②若$a$、$b$相交，那么一定是包含关系，不妨设$|a| < |b|$

如果$a$的一个操作区间在$b$中，那么在操作$b$前后交换$a$中的两个区间显然不改变顺序

如果$a$的两个操作区间都在$b$中，那么在$b$操作前后这两个区间内的元素是不变的，我们只需在$b$操作之后找到原来的两个区间进行交换，最后的序列仍然不变

这就粗略地证明了

既然顺序无关，我们就可以从小枚举了

因为大区间操作无法影响其内部，所以我们每一次操作都要保证下一级区间内部一定是按+1递增顺序的

具体地，对于第$i$种操作，操作区间长度为$2^{i - 1}$，那么我们找到第$i + 1$种操作的所有区间，如果其内部不是按+1递增的，那么这个区间一定要被操作

如果这样的区间数量$>3$，显然我们是无法全部顾及的，直接返回

如果这样的区间数量为1，那么只需要交换这个区间内部

如果这样的区间数量为2，若存在合法方案，一定是交换这两个区间$2$个子区间的一个，共有$4$中情况，逐一检验即可

最后，如果一个操作集合$S$合法，那么将贡献$|S|!$的方案数

如果说每一层只会有一种情况合法的话，总的复杂度$O(n * 2^n)$

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define LL long long int

#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");

using namespace std;

const int maxn = 13,maxm = 10000,INF = 1000000000;

inline int read(){

	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();

	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}

	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}

	return out * flag;

}

int a[maxm],n,N,chs;

LL ans,fac[maxn];

bool isorder(int l,int len){

	for (int i = 1; i < len; i++) if (a[l + i] != a[l + i - 1] + 1) return false;

	return true;

}

void Swap(int u,int v,int len){

	for (int i = 0; i < len; i++) swap(a[u + i],a[v + i]);

}

void dfs(int dep){

	if (dep > n){

		if (isorder(1,N)) ans += fac[chs];

		return;

	}

	int len = 1 << dep,x = 0,y = 0;

	for (int i = 1; i <= N; i += len){

		if (!isorder(i,len)){

			if (!x) x = i;

			else if (!y) y = i;

			else return;

		}

	}

	if (!x && !y) dfs(dep + 1);

	else if (x && !y){

		chs++;

		Swap(x,x + (len >> 1),(len >> 1));

		dfs(dep + 1);

		Swap(x,x + (len >> 1),(len >> 1));

		chs--;

	}

	else if (x && y){

		chs++;

		for (int i = 0; i < 2; i++)

			for (int j = 0; j < 2; j++){

				Swap(x + i * (len >> 1),y + j * (len >> 1),(len >> 1));

				if (isorder(x,len) && isorder(y,len))

					dfs(dep + 1);

				Swap(x + i * (len >> 1),y + j * (len >> 1),(len >> 1));

		}

		chs--;

	}

}

int main(){

	fac[0] = 1;

	for (int i = 1; i <= 12; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i;

	n = read(); N = (1 << n);

	REP(i,N) a[i] = read();

	dfs(1);

	cout << ans << endl;

	return 0;

}