Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3

思路:dp。设数组res[i]表示n=i时的二叉搜索树个数。

先考虑最简单的情况,res[0] = 0,res[1] = 1。

当n > 1时,一定会存在这样两类二叉搜索树:root节点为1,以及root节点为n本身的树。当root节点为1时,剩下的(n - 1)个节点值全部大于1,都在右孩子的子树里,因此root节点为1的树的总数由规模为n - 1的右孩子子树决定,即个数等于res[n - 1]。当root节点为n时同理,个数也为res[n - 1]。

现在考虑其余节点为root时的情况,假设i为root节点,则值为1到i - 1的节点都会在左孩子子树中,值为i + 1到n的节点都会在右孩子子树中。

因此可能情况是res[i - 1] * res[n - i]。

综上,我们将所有节点为root时的值累加,即为大小为n的二叉搜索树的个数。

 class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> res(n + , );
res[] = ;
for (int i = ; i <= n; i++)
{
res[i] = res[i - ] * ;
for (int j = ; j < i; j++)
res[i] += res[j - ] * res[i - j];
}
return res[n];
}
};

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