【线段树 泰勒展开】Codechef April Challenge 2018 Chef at the Food Fair

第一次写泰勒展开；本地和CC差距好大

题目大意

大厨住的城市里办了一场美食节。一条街上开设了$N$个摊位,编号为$1∼N$。这天开始时，第$i$个摊位的食物会导致食物中毒的概率是$P_i$。在这一天中，大厨发现某些摊位可能会根据顾客的反馈提供没那么有毒的食物。你需要处理$Q$个询问，询问有以下两类：

0 L R：求出:如果要吃遍$[L,R]$内所有摊位的食物，那么不会食物中毒的概率是多少；
1 L R T：$[L,R]$中的所有摊位的食物会导致食物中毒的概率变为了原来的$T$倍。$T$是一个小于$1$的非负实数。

对于前 $20\%$ 的数据，$n,m\le 2000$

另有 $20\%$ 的数据，$T\le 0.5$

对于 $100\%$ 的数据，满足 $n,m\le 10^5,0\le T<1,P_i\le 1,1\le L\le R\le n$，保证输入数据不超过 $6$ 位小数。

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题目分析

注意到维护的操作有些不同寻常。

• 第一：维护的是$\prod (1-P_i)$
• 第二：每次操作是区间乘法

对于要求支持区间乘的问题，有一种转化套路是将它取$\ln$，那么问题就变成了维护区间和。

那么这题中还需要处理$\ln (1-P_i)$，将它泰勒展开得到$\ln(1-x)=x-{1\over 2}x^2-{1\over 3}x^3-...-{1\over n}x^n+R(x)$。我们一如既往地爆精度，只需要保留这个式子的前$MAXD=100$项和。维护时则是开$MAXD$颗线段树对每类次项分别处理区间乘法。

需要注意的是，这题需要一些常数技巧。我最先是开了$f[MAXD]$颗封装好的线段树，但由于数组的第一维是更频繁访问的一维，所以实际运行效率会比较低。如果采用形如$f[maxn<<2][MAXD]$的做法，就会快非常多。

非常迷的一点是，同一份代码在本地考试的数据下，极限数据要跑个4~5s；但是交到CC上就rank2了……

 #include<bits/stdc++.h>
 const int maxn = ;
 const double eps = 1e-;

 int n,m,MAXD;
 double p[maxn],w[maxn],K,S;
 double f[maxn<<][],tag[maxn<<];

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = , fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch=getchar())
         if (ch=='-') fl = -;
     for (; isdigit(ch); ch=getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     return num*fl;
 }
 void pushup(int rt)
 {
     for (int i=; i<=MAXD; i++)
         f[rt][i] = f[rt<<][i]+f[rt<<|][i];
 }
 void pushdown(int rt)
 {
     double v = tag[rt], s = tag[rt];
     if (fabs(1.0-v) > eps){
         tag[rt<<] *= v, tag[rt<<|] *= v;
         for (int i=; i<=MAXD; i++)
             f[rt<<][i] *= s, f[rt<<|][i] *= s, s *= v;
         tag[rt] = 1.0;
     }
 }
 void build(int rt, int l, int r)
 {
     tag[rt] = 1.0;
     if (l==r){
         for (int i=; i<=MAXD; i++)
             w[l] *= p[l], f[rt][i] = w[l]/i;
         return;
     }
     int mid = (l+r)>>;
     build(rt<<, l, mid);
     build(rt<<|, mid+, r);
     pushup(rt);
 }
 double query(int rt, int L, int R, int l, int r)
 {
     if (L <= l&&r <= R){
         double ret = ;
         for (int i=; i<=MAXD; i++)
             ret += f[rt][i];
         return ret;
     }
     int mid = (l+r)>>;
     double ret = ;
     pushdown(rt);
     if (L <= mid) ret += query(rt<<, L, R, l, mid);
     if (R > mid) ret += query(rt<<|, L, R, mid+, r);
     return ret;
 }
 void modify(int rt, int L, int R, int l, int r, double c)
 {
     if (L <= l&&r <= R){
         double s = c;
         tag[rt] *= s;
         for (int i=; i<=MAXD; i++)
             f[rt][i] *= s, s *= c;
         return;
     }
     int mid = (l+r)>>;
     pushdown(rt);
     if (L <= mid) modify(rt<<, L, R, l, mid, c);
     if (R > mid) modify(rt<<|, L, R, mid+, r, c);
     pushup(rt);
 }
 int main()
 {
     n = read(), m = read();
     for (int i=; i<=n; i++) scanf("%lf",&p[i]), w[i] = 1.0;
     MAXD = ;
     build(, , n);
     for (int i=; i<=m; i++)
     {
         int opt = read(), l = read(), r = read();
         if (opt){
             scanf("%lf",&K);
             modify(, l, r, , n, K);
         }else{
             K = query(, l, r, , n);
             printf("%.8lf\n",exp(-K));
         }
     }
     return ;
 }

END