UVA1635 Irrelevant Elements(唯一分解定理 + 组合数递推）

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=51196

紫书P320;

题意：给定n个数a1,a2····an,依次求出相邻两个数值和，将得到一个新数列，重复上述操作，最后结果将变为一个数，问这个数除以m的余数与那些数无关？例如n=3,m=2时，第一次得到a1+a2,a2+a3，在求和得到a1+2*a2+a3，它除以2的余数和a2无关。1=<n<=10^5, 2=<m<=10^9

其实就是杨辉三角的某一行有几个能整除m，求C(0,n - 1)，C（1， n - 2)... C（n - 1， n - 1)中那几个能整除m

解题思路：

1、首先我们可以发现对于给定的n其实每项的系数就是C(n-1,i-1)，所以我们只需要找到每项的系数对m取余是否为0即可

2、由于m的取值范围为10^9,所以我们只需要筛选 √(10^9)的素数，然后对m进行分解；如果分解后m>1，说明当前m的是原m的一个素数，而且m> √(10^9)，因此我们只需记录它即可

3、由组合数的递推公式C（k, n) = (n - k + 1) / k * C(k - 1， n)，而这道题n = n - 1；首项是一，可以直接从第二项即k = 1: （n - 1 )  - k + 1 / k开始判断是否能整除m，分子能整除素数元素个数就减一，分母能整除就+1，如果对于任意一个素数对应的指数 >= 1，就说明不能整除

收获：

每个整数的唯一分解式项数不多（long long 类型的数值最多20项，前21个素数相乘long long就溢出了）

 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 using namespace std;
 const int Max = ;
 
 int factor[],nfactor[],num_factor,flag_factor[ + ];
 int count_prime,prime[Max + ],flag[Max + ];
 void get_prime()
 {
     memset(flag, , sizeof(flag));
     count_prime = ;
     for(int i = ; i <= Max; i++)
     {
         if(flag[i] == )
         {
             flag[i] = ;
             prime[++count_prime] = i;
             for(int j = ; j <= Max / i; j++)
             {
                 flag[i * j] = ;
             }
         }
     }
 }
 
 void get_factor(int m)
 {
     num_factor = ;
     memset(nfactor, , sizeof(nfactor));
     memset(factor, , sizeof(factor));
     for(int i = ; i <= count_prime; i++)
     {
         if(m < prime[i])
             break;
         if(m % prime[i] == )
         {
             factor[num_factor] = prime[i];
             while(m % prime[i] ==  && m)
             {
                 nfactor[num_factor]++;
                 m = m / prime[i];
             }
             num_factor++;
             if(m ==  || m == )
                 break;
         }
     }
     if(m > )
     {
         factor[num_factor] = m;
         nfactor[num_factor]++;
         num_factor++;
     }
 }
 bool check(int x, int y)
 {
     bool check_flag = true;
     for(int i = ; i < num_factor; i++)
     {
         while(x % factor[i] ==  && x)
         {
             x = x / factor[i];
             nfactor[i]--;
         }
         while(y % factor[i] ==  && y)
         {
             y = y / factor[i];
             nfactor[i]++;
         }
         if(nfactor[i] >= )
         {
             check_flag = false;
             //break;  要不得，即使不能整除，也要约分完，因为下一个受这一个的影响
         }
     }
     return check_flag;
 }
 int main()
 {
     int n,m;
     get_prime();
     while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
     {
         get_factor(m);  //对m分解
         int cnt = , ends = ;
         memset(flag_factor, , sizeof(flag_factor));
         for(int i = ; i <= n; i++)
         {
             if( check(n - i, i) )   //原型就是 (n - 1 - i + 1) / i
             {
                 flag_factor[i + ] = ;
                 ends = i + ;
                 cnt++;
             }
         }
         printf("%d\n", cnt);
         if(cnt > )
         {
             for(int i = ; i < ends; i++)
             if(flag_factor[i])
                 printf("%d ", i);
             printf("%d", ends);
         }
         printf("\n");
     }
     return ;
 }