Description

有一个由M个整数组成的序列,每次从中随机取一个数(序列中每个数被选到的概率是相等的)累加,一共取N次,最后结果能被3整除的概率是多少?

Input

输入包含多组数据。
    对于每组测试数据,第一行包含两个整数M, N (1 <= M <= 100, 1 <= N <= 30),含义同上。接下来一行包含M个在[1, 100]范围内整数,依次描述了这个序列中的各个整数。

Output

对于每组数据,用“Case X: Y”的格式输出答案,其中X表示是第几组测试数据(从1开始),Y表示最后结果能被3整除的概率,四舍五入保留8位小数。

Sample Input

2 2
1 2
1 2
4
1 3
4
5 10
4 5 3 1 5

Sample Output

Case 1: 0.50000000
Case 2: 0.00000000
Case 3: 1.00000000
Case 4: 0.33333340

Hint

这个题目主要是想推荐大家用“double”处理浮点数,而尽量不要用“float”,因为“float”的精度偏低,往往不能满足题目的精度要求,所以在ACM竞赛中索性可以直接使用“double”去处理浮点数问题。“double”用“%lf”控制读入,“%f”控制输出。
    我们先解决一下其他的细节问题再来讨论这个题的思路。
    首先,这个题目也是有多组数据的,但不像“A Sample Problem”那样直接给出了数据的组数,那么要怎么处理呢?这时我们一般采用类似while(scanf(“%d%d”, &M, &N) != EOF){}这样的代码来处理,“!= EOF”是关键,至于他的具体含义就不过多介绍了,总之有了这个框架之后,我们直接在while循环里面写我们处理每组数据的代码就可以了。这时你可能会有这样的疑问:如果这么写代码的话,那么我在手动输入样例的时候怎么才算结束输入呢?Ctrl + Z,然后回车就OK了!
    其次,保留8位小数怎么处理呢?一般在ACM竞赛里面,如果没有明确说明具体怎么处理(比如要用“去尾法”),或者说让“四舍五入”,我们都采用类似printf(“%.8f”, x)的形式保留指定位数的小数。至于使用C++中的cout输出的同学,请自己查阅控制小数位数的相关资料。
    接下来我们就分析这个题目怎么做吧。
    首先,最后能不能被3整除,实际上和最后取出的整数之和(不妨记这个和为“S”)模3的结果有关系。所谓的“模”就是C/C++中的运算符“%”,就是“除以某个数取余”的意思。如果S%3==0,那么就是能被3整除,如果S%3==1或者S%3==2,那么就不能被3整除。也就是说我们要计算的就是S%3==0的概率。

 我们不妨分析一下第四个样例。取十次有点多,我们先取一次看看。
    取一次的话,模3得0的数只有3,所以S%3==0的概率就是0.2(记这个概率为p0),模3得1的数有两个:4和1,所以S%3==1的概率就是0.4(记这个概率为p1),同样的,模3得2的数有两个:5和5,所以S%3==2的概率也是0.4(记这个概率为p2)。
    再分析一下取两次的情况?
    取两次的话S%3==0的概率要怎么算呢?p0*p0 + p1*p2 + p2*p1 = 0.36。这么算的含义是什么呢?因为要保证最后S%3==0,那么如果第一次取出的数模3得0的话,第二次取的数必须也是模3得0,同样的,如果第一次取出的数模3得1的话,那么第二次取出的数必须是模3得2,如果第一次取出的数模3得2的话,那么第二次取出的数必须模3得1。这样我们就得到了上面的式子。同理,我们可以计算S%3==1的概率为p0*p1 + p1*p0 + p2*p2 = 0.32,S%3==2的概率也是0.32。
    再分析一下取三次的情况?
    取三次的话S%3==0的概率应当是0.36*p0 + 0.32*p2 + 0.32*p1。这么算的意义想必大家已经想到了,因为我们要保证最后S%3==0,那么如果前两次取出的数之和模3得0的话,那么第三次取出的数必须也是模3得0,同样的,如果前两次取出的数之和模3得1的话,那么第三次取出的数必须是模3得2,如果前两次取出的数之和模3得2的话,那么第三次取出的数必须是模3得1。同理,我们也很容易写出S%3==1以及S%3==2的概率要怎么算。
    分析到这里想必大家应该已经想到第四次,第五次,一直到第十次要怎么计算了吧?用类似的办法,根据第三次的结果就可以计算出第四次的结果,根据第四次的结果就可以算出第五次的,等等。这样即使一直算到一百次也不成问题!for循环100次就OK了。

#include<stdio.h>
double p[][]; int main()
{
int m,n,x,t=; while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
{
p[][]=p[][]=p[][]=; for(int i=;i<m;i++)
{
scanf("%d",&x);
p[][x%]+=;
}
p[][]/=m;
p[][]/=m;
p[][]/=m;
for(int i=;i<=n;i++)
{
p[i][]=p[i-][]*p[][]+p[i-][]*p[][]+p[i-][]*p[][];
p[i][]=p[i-][]*p[][]+p[i-][]*p[][]+p[i-][]*p[][];
p[i][]=p[i-][]*p[][]+p[i-][]*p[][]+p[i-][]*p[][];
}
printf("Case %d: %.8f\n",++t,p[n][]);
}
return ;
}

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