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描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解析

关于本题,前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)

...

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明:

1)这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。

2)n = 1时,只有1种跳法,f(1) = 1

3) n = 2时,会有两个跳得方式,一次1阶或者2阶,这回归到了问题(1) ,f(2) = f(2-1) + f(2-2)

4) n = 3时,会有三种跳得方式,1阶、2阶、3阶,

那么就是第一次跳出1阶后面剩下:f(3-1);第一次跳出2阶,剩下f(3-2);第一次3阶,那么剩下f(3-3)

因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5) n = n时,会有n中跳的方式,1阶、2阶...n阶,得出结论:

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

6) 由以上已经是一种结论,但是为了简单,我们可以继续简化:

f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

可以得出:

f(n) = 2*f(n-1)

7) 得出最终结论,在n阶台阶,一次有1、2、...n阶的跳的方式时,总得跳法为:

| 1       ,(n=0 )

f(n) =     | 1       ,(n=1 )

              | 2*f(n-1),(n>=2) = 2 ^ ( n - 1)

代码

//位移操作
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
if (target <= 0) {
return 0;
}
return 1 << (target - 1);
}
}
//简单递归
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
if (target <= 0) {
return -1;
} else if (target == 1) {
return 1;
} else {
return 2 * JumpFloorII(target - 1);
}
}
}
//自己写的
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
if (target <= 0) {
return 0;
} else if (target == 1) {
return 1;
} else if (target == 2) {
return 2;
} else if (target == 3) {
return 4;
}
int sum = 0;
int startIndex = 1;
while (startIndex < target) {
sum += JumpFloorII(target - startIndex);
startIndex++;
}
return sum + 1;
}
}

自己写的思路:其实也是f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) .....+ f(n - n);

这里的f(n - n),其实是一条跳n阶,步长为n,所以就是1。

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