topcoder srm 686 div1

problem1 link

左括号和右括号较少的一种不会大于20。假设左括号少。设$f[i][mask][k]$表示处理了前$i$个字符，其中留下的字符以$k$开头（$k=0$表示'(',$k=1$表示'['），且所有留下的字符状态为$mask$，（$mask$的最高位为1，其他位为0表示另一种括号，否则表示跟最高位相同的符号）。

problem2 link

给定$n,m$，$n$个数字的排列有$n!$种，设其中某一种为$P_{i}$，设$P_{i}$中循环的个数$f(P_{i})=t_{i}$,那么$P_{i}$对答案的贡献为$t_{i}^{m}$。设所有排列的集合为$S$，计算$\sum_{P_{i}\in S}f(P_{i})^{m}$。$1\leq n\leq 100000,0\leq m\leq 300$

给出一些定义：

（1）第一类斯特灵数:$s(n,k)$，表示将$n$个元素排列成$k$个轮换的个数，递推公式:$s(n,k)=(n-1)s(n-1,k)+s(n-1,k-1),n>0$

（2）第二类斯特灵数:$S(n,k)$，表示将$n$个元素分成$k$个非空集合的方案数，递推公式:$S(n,k)=k*S(n-1,k)+S(n-1,k-1),n>0$

（3）$x^{n}=\sum_{k=0}^{n}S(n,k)x(x-1)...(x-k+1),n\geq 0$.这个可以用数学归纳法证明。

（4）$x(x+1)...(x+n-1)=\sum_{k=0}^{n}s(n,k)x^{k},n\geq 0$.这个可以用数学归纳法证明。

==========分隔符=========

现在回到题目。需要求的是$ans=\sum_{k=0}^{n}s(n,k)k^{m}$，借助上面第（3）个公式得到：

$ans=\sum_{k=0}^{n}s(n,k)k^{m}$

$=\sum_{k=0}^{n}s(n,k)\sum_{t=0}^{m}S(m,t)k(k-1)...(k-t+1)$

$=\sum_{t=0}^{m}S(m,t)\sum_{k=0}^{n}s(n,k)k(k-1)...(k-t+1)$

现在考虑 $\sum_{k=0}^{n}s(n,k)k(k-1)...(k-t+1)$

对公式（4）两端求$t$阶导数得到：$(x(x+1)...(x+n-1))^{(t)}=\sum_{k=0}^{n}s(n,k)k(k-1)...(k-t+1)x^{k-t}$.

如果令$x=1$就得到了$\sum_{k=0}^{n}s(n,k)k(k-1)...(k-t+1)$。

现在就是需要计算$(x(x+1)...(x+n-1))^{(t)}_{x=1}$的值。

令$u=x-1$，那么就是求$((u+1)(u+2)...(u+n))^{(t)}_{u=0}$的值。

$(u+1)(u+2)...(u+n)=a_{n,0}+a_{n,1}u+...+a_{n,t}u^{t}+...+a_{n,n}u^{n}$

现在只需要计算出$a_{n,t}$即可，那么$\sum_{k=0}^{n}s(n,k)k(k-1)...(k-t+1)=a_{n,t}*t!$

下面用数学归纳法证明:$a_{n,t}=s(n+1,t+1)$.

（1）假设$t$固定，小于等于$n-1$时均成立；即$a_{n-1,t}=s(n,t+1)$.

（2）对于$(u+1)(u+2)...(u+n)中$中$u_{t}$的系数的所有项是由$n$项中选出$n-t$项的乘积组成的。那么如果某一项乘积包含$n$时，就是$n*a_{n-1,t}=n*s(n,t+1)$；如果不包含$n$，那么就是由$[1,n-1]$中任意选出$n-t$项，这其实就是$a_{n-1,t-1}=s(n,t)$。

所以$(u+1)(u+2)...(u+n-1)$中$u_{t}$的系数$a_{n,t}=n*s(n,t+1)+s(n,t)=s(n+1,t+1)$.

problem3 link

一顿乱搜。

code for problem1

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>

constexpr int kMAXN = 20;

long long f[2][1 << kMAXN][2];

class BracketSequenceDiv1 {
 public:
  long long count(std::string s) {
    int n = static_cast<int>(s.size());
    int num = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      if (s[i] == '(' || s[i] == '[') {
        ++num;
      }
    }
    if (num > n - num) {
      std::reverse(s.begin(), s.end());
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (s[i] == '(') {
          s[i] = ')';
        } else if (s[i] == ')') {
          s[i] = '(';
        } else if (s[i] == '[') {
          s[i] = ']';
        } else {
          s[i] = '[';
        }
      }
      num = n - num;
    }

    int pre = 0, cur = 1;
    memset(f[pre], 0, sizeof(f[pre]));
    f[0][0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      char c = s[i - 1];
      memset(f[cur], 0, sizeof(f[cur]));
      for (int j = 0; j < (1 << num); ++j) {
        for (int k = 0; k < 2; ++k) {
          long long p = f[pre][j][k];
          if (p == 0) {
            continue;
          }
          f[cur][j][k] += p;
          if (c == '(') {
            if (j == 0) {
              f[cur][1][0] += p;
            } else {
              f[cur][j << 1 | (k ^ 1)][k] += p;
            }
          } else if (c == '[') {
            if (j == 0) {
              f[cur][1][1] += p;
            } else {
              f[cur][j << 1 | k][k] += p;
            }
          } else if (c == ')') {
            if (j != 0 && (k ^ (j & 1)) != 0) {
              f[cur][j >> 1][k] += p;
            }
          } else {
            if (j != 0 && (0 == (k ^ (j & 1)))) {
              f[cur][j >> 1][k] += p;
            }
          }
        }
      }
      pre ^= 1;
      cur ^= 1;
    }
    return f[pre][0][0] + f[pre][0][1] - 1;
  }
};

code for problem2

#include <vector>

constexpr int N = 101000;
constexpr int kMod = 1000000007;

int g[N][305];

int p[N];

int S[305][305];

class CyclesNumber {
 public:
  std::vector<int> getExpectation(const std::vector<int> &n,
                                  const std::vector<int> &m) {
    p[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; ++i)
      p[i] = static_cast<int>(1ll * p[i - 1] * i % kMod);

    S[0][0] = 1;
    S[1][1] = 1;
    S[2][1] = S[2][2] = 1;
    for (int i = 3; i <= 300; ++i) {
      for (int k = 1; k <= i; ++k) {
        S[i][k] =
            static_cast<int>((1ll * k * S[i - 1][k] + S[i - 1][k - 1]) % kMod);
      }
    }

    g[0][0] = 1;
    g[1][1] = 1;
    g[2][1] = g[2][2] = 1;
    for (int i = 3; i < N; ++i) {
      for (int j = 1; j <= 301; ++j) {
        g[i][j] = static_cast<int>(
            (1ll * (i - 1) * g[i - 1][j] + g[i - 1][j - 1]) % kMod);
      }
    }

    int num = static_cast<int>(n.size());

    std::vector<int> result(num);
    for (int i = 0; i < num; ++i) {
      result[i] = Cal(n[i], m[i]);
    }
    return result;
  }

 private:
  void Add(int &x, int y) {
    x += y;
    if (x >= kMod) {
      x -= kMod;
    }
  }

  int Cal(int n, int m) {
    if (m == 0) {
      return p[n];
    }
    if (n == 1) {
      return 1;
    }

    int ans = 0;
    for (int t = 1; t <= m; ++t) {
      Add(ans, static_cast<int>(1ll * S[m][t] * p[t] % kMod * g[n + 1][t + 1] %
                                kMod));
    }
    return ans;
  }
};

code for problem3

#include <algorithm>
#include <vector>

class XorPuzzle {
 public:
  std::vector<int> find(int k, const std::vector<int> a) {
    int n = static_cast<int>(a.size());
    int m = 1 << k;
    if (n == m) {
      int s = 0;
      for (int x : a) {
        s ^= x;
      }
      if (s != 0) {
        return {-1};
      }
    }
    std::vector<int> b(m);
    std::vector<int> c(m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      b[i] = c[i] = i;
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      if (a[i] == (b[i] ^ c[i])) {
        continue;
      }
      int j = i;
      while (j <= i) {
        if (j == i) {
          std::random_shuffle(b.begin() + j, b.end());
        }
        int p = 0;
        while (c[p] != (a[j] ^ b[j])) {
          ++p;
        }
        std::swap(c[p], c[j]);
        if (p >= i) {
          break;
        } else {
          int t = 0;
          while (b[t] != (a[p] ^ c[p])) {
            ++t;
          }
          std::swap(b[t], b[p]);
          j = t;
        }
      }
    }
    std::vector<int> result(n * 2);
    std::copy(b.begin(), b.begin() + n, result.begin());
    std::copy(c.begin(), c.begin() + n, result.begin() + n);
    return result;
  }
};