CSP2019 Emiya 家今天的饭 题解

这题在考场上只会O(n^3 m),拿了84分。。

先讲84分，考虑容斥，用总方案减去不合法方案，也就是枚举每一种食材，求用它做超过\(\lfloor \frac{k}{2} \rfloor\) 道菜的方案数，从总方案中减去。

先枚举一种食材x，设f[i][j][k]为前i种烹饪方法中，做j道菜，其中k道是食材x做的的方案数，转移考虑第i种烹饪方案 不做菜/做食材x的菜/做其他食材的菜 三种情况。最后所有f[n][j][j/2+1 ~ n]的和即是不合法情况。

考虑怎么优化，设一种方案中有k道菜，其中t道菜是x食材做的，那么当且仅当\(t>\lfloor \frac{k}{2}\rfloor\)时方案不合法，也即\(2t-k>0\)时不合法。那么我们在dp时就只需要记录方案中\(2t-k\)的值，最后取大于0的状态的方案数即可。即设f[i][j]为只考虑前i种烹饪方法，方案中\(2t-k\)的值为j的方案数。转移考虑以上三种情况分别转移到 f[i+1][j]/f[i+1][j+1]/f[i+1][j-1] 即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 107
#define M 2007
#define ll long long
const ll mod=998244353;
ll a[N][M],sum[N],f[N][N<<1];
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%lld",&a[i][j]);
			sum[i]=(sum[i]+a[i][j])%mod;
		}
	ll ans=0;
	for(int now=1;now<=m;now++)
	{
		memset(f,0,sizeof(f));
		f[0][N]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=N-n;j<=N+n;j++)
			{
				f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j])%mod;
				f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-1]*a[i][now])%mod;
				f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j+1]*(sum[i]+mod-a[i][now]))%mod;
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
			ans=(ans+f[n][N+i])%mod;
	}
	ll res=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		res=res*(sum[i]+1)%mod;
	res=(res+mod-1)%mod;
	res=(res+mod-ans)%mod;
	printf("%lld\n",res);
	return 0;
}