可持久化0-1Trie树

我跟可持久化数据结构杠上了 $QwQ$ 。三天模拟赛考了两次可持久化数据结构（主席树、可持久化0-1Trie树），woc。

一、个人理解

可持久化0-1Trie树，是一种可以快速查询区间异或信息的高级数据结构。

它的主要思想和主席树相同，即保存每次插入操作的历史版本，来快速查询区间的异或信息。

0-1Trie树和平常写的strTrie树相同，都是维护前缀信息的数据结构。不同点只有一个，就是0-1Trie树是维护一个0-1串。可持久化0-1Trie树运用了贪心的思想，即将序列里的 $X$ 按二进制为拆分，若当前 $X_i$ （指 $X$ 二进制拆分后的第 $i$ 位）是1，我们就往0-1Trie树的0边走；反之就往0-1Trie树的1边走。

可持久化0-1Trie树与主席树相同，也需要动态开点。

注意：维护区间异或信息的不止可持久化0-1Trie树一种，还有线性基等。

二、时空复杂度分析：

时间复杂度：

与普通0-1Trie树相同：$O(n\log n)$ 。

注：strTrie树的时间复杂度是 $O(n)$ ，是一种典型的以时间换空间的算法。
空间复杂度：

与普通的0-1Trie树相同：$O(\min\{n\log |f(a_i)|,|f(a_i)|\})$ ( $|f(a_i)|$ 为值域)。注意常数为 $2^5$ （1<<5）。

三、例题及简析

P4735 最大异或和

Description:

给定数列 $\{a_n\}$ ,支持两种操作：

在数列尾添加一个数 $x$ ，数列长度变成 $n+1$ ;
给定闭区间 $[l,r]$ 和一个数 $x$ ，求：

\[\max_{i=l}^{r}\left \{\left(\bigoplus_{j=i}^{n}a_j \right)\bigoplus x\right \}
\]

Method:

定义 $Xorsum_i$ 为 $\bigoplus_{i=1}^{n}a_i$ ,即前缀异或和。我们显然可以得到

\[\left(\bigoplus_{i=pos}^{n}a_i\right)\bigoplus x=Xorsum_{pos-1}\bigoplus Xorsum_n \bigoplus x
\]

注：$x\bigoplus x=0$ , $x \bigoplus 0=x$ 。

我们发现 $Xorsum_n\bigoplus x$ 是一个定值，我们只需要维护 $Xorsum_{pos-1}$ 即可。

考虑用可持久化0-1Trie树维护。与主席树思路相同，我们建立 $n+1$ 个版本的0-1Trie树，查询的时候运用贪心的思路即可。

可持久化线段树同样支持“前缀和”的思想，我们最后只需要在第 $r$ 个版本的0-1Trie树上查找 $l$ 位置即可。

本题毒瘤卡常，本人人丑常数大，用了fread等各种卡常操作才通过。并且由于luogu评测姬的原因（大雾，已经通过的代码又会T掉woc。卡不过的话，开o2吧。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define Maxn 600010
#define Maxdep 23
#define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline void read(int &x)
{
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
int n,m;
int sum[Maxn];
struct trie
{
	trie *chd[2];
	int symbl;
	trie()
	{
		for(int i=0;i<2;i++) chd[i]=NULL;
		symbl=0;
	}
}*root[Maxn],tree[Maxn<<5],*tail;
void Init(){tail=tree;}
void build(trie *&p,int dep)
{
	p=new (tail++)trie();
	if(dep<0) return ;
	build(p->chd[0],dep-1);
}
void update(trie *&p,trie *flag,int dep,int i)
{
	p=new (tail++)trie();
	if(flag) *p=*flag;
	if(dep<0) return (void)(p->symbl=i);
	int tmp=(sum[i]>>dep)&1;//判断是1还是0
	if(!tmp) update(p->chd[0],flag?flag->chd[0]:NULL,dep-1,i);
	else update(p->chd[1],flag?flag->chd[1]:NULL,dep-1,i);
	if(p->chd[0]) p->symbl=std::max(p->symbl,p->chd[0]->symbl);
	if(p->chd[1]) p->symbl=std::max(p->symbl,p->chd[1]->symbl);
}
int query(trie *p,int x,int dep,int limit)
{
	if(dep<0) return sum[p->symbl]^x;
	int tmp=(x>>dep)&1;
	if(p->chd[tmp^1]&&p->chd[tmp^1]->symbl>=limit) return query(p->chd[tmp^1],x,dep-1,limit);
	return query(p->chd[tmp],x,dep-1,limit);
}
signed main()
{
	Init();
	read(n),read(m);
	build(root[0],Maxdep);
	for(int i=1,x;i<=n;i++)
	{
		read(x);
		sum[i]=sum[i-1]^x;
		update(root[i],root[i-1],Maxdep,i);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		char ch=getchar();
		while(ch!='A'&&ch!='Q') ch=getchar();
		if(ch=='A')
		{
			int x;
			read(x);
			n++;
			sum[n]=sum[n-1]^x;
			update(root[n],root[n-1],Maxdep,n);
			continue;
		}
		if(ch=='Q')
		{
			int l,r,x;
			read(l),read(r),read(x);
			int ans=query(root[r-1],sum[n]^x,Maxdep,l-1);
			printf("%d\n",ans);
			continue;
		}
	}
	return 0;
}