BZOJ2280 [Poi2011]Plot 二分+倍增+最小圆覆盖

题目传送门

https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2280

https://loj.ac/problem/2159

题解

显然对于一段的 \(q_i\)，就是这一段的最小圆覆盖的圆心。

考虑二分一个 \(mid\)，表示每一段的最小圆覆盖的半径的最大值。

然后我们可以在点序列上从开头一直往后走，直到半径大于 \(mid\)，就算上一段并重新开始记录最小圆覆盖，然后把总的段数与 \(m\) 比较。

看上去没什么问题啊，时间复杂度 \(O(n\log eps^{-1})\)，但是怎么 BZOJ 上时间限制有 300s，比紫荆花之恋还长啊。

等等，好像最小圆覆盖的时间复杂度的正确性需要把整个序列都打乱啊。不好，这样就不能保证了题目中要的连续的一段了。

那么我们想一想怎么更正这个算法。

每次从当前的起点 \(i\) 向右扩展的时候，可以二分一个 \(mid\)，然后把 \(i..mid\) 这一段求一下最小圆覆盖？不对不对，这样二分的话，时间复杂度是 \(O(nm\log n\log eps^{-1})\)。

但是我们想要的是，对于长度为 \(l\) 的一段，能够通过 \(l\log l\) 把它二分出来，而不是 \(n\log n\)。

所以这里有一个小 trick，可以一个一个测试 \(i\) 右边 \(1, 2, 4, 8, \cdots\) 位之间的每一段满不满足条件。这样倍增下去，最后我们就可以得到一个信息 \(2^k-1 \leq l < 2^k-1\)。然后我们就可以在这个范围内二分了。这样因为每一次二分的 \(mid\) 都是和 \(l\) 在同一级别的，所以复杂度为 \(O(l\log l)\)。

这样就可以在 \(O(n\log l\log eps^{-1})\) 的时间复杂度内 AC 了。

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下面是代码。如上文所属，这个代码的时间复杂度为 \(O(n\log l \log eps^{-1})\)。

#include<bits/stdc++.h>

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b , 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b , 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;

template<typename I>
inline void read(I &x) {
	int f = 0, c;
	while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
	x = c & 15;
	while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
	f ? x = -x : 0;
}

const int N = 100000 + 7;
const double eps = 1e-8;

int n, m, cnt;

inline int dcmp(const double &x) { return fabs(x) <= eps ? 0 : (x < 0 ? -1 : 1); }
struct Point {
	double x, y;
	inline Point(const double &x = 0, const double &y = 0) : x(x), y(y) {}
} a[N], b[N], ans[N];

inline double dist(const Point &a, const Point &b) { return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y)); }
inline Point get_C(const Point &p1, const Point &p2, const Point &p3) {
	double c1 = (p1.x * p1.x + p1.y * p1.y) - (p2.x * p2.x + p2.y * p2.y), a1 = 2 * (p1.x - p2.x), b1 = 2 * (p1.y - p2.y);
	double c2 = (p2.x * p2.x + p2.y * p2.y) - (p3.x * p3.x + p3.y * p3.y), a2 = 2 * (p2.x - p3.x), b2 = 2 * (p2.y - p3.y);
	double x = (b1 * c2 - b2 * c1) / (a2 * b1 - a1 * b2), y = (a1 * c2 - a2 * c1) / (a1 * b2 - a2 * b1);
	return Point(x, y);
}

inline std::pair<Point, double> calc(int L, int R) {
	int n = 0;
	for (int i = L; i <= R; ++i) b[++n] = a[i];
	std::random_shuffle(b + 1, b + n + 1);
	Point O = b[1];
	double r = 0;
	for (int i = 2; i <= n; ++i) if (dcmp(dist(O, b[i]) - r) > 0) {
		O = b[i], r = 0;
		for (int j = 1; j < i; ++j) if (dcmp(dist(O, b[j]) - r) > 0) {
			O = Point((b[i].x + b[j].x) / 2, (b[i].y + b[j].y) / 2), r = dist(b[i], O);
			for (int k = 1; k < j; ++k) if (dcmp(dist(O, b[k]) - r) > 0) {
				O = get_C(b[i], b[j], b[k]);
				r = dist(b[i], O);
			}
		}
	}
	return std::make_pair(O, r);
}

inline bool check(const double &mid) {
	cnt = 0;
	int now = 1;
	while (now <= n) {
		int i = 1;
		for (; now + (1 << i) - 1 <= n; ++i)
			if (calc(now, now + (1 << i) - 1).se - mid > eps) break;
		int l = now + (1 << (i - 1)) - 1, r = std::min(now + (1 << i) - 2, n);
		while (l < r) {
			int mid2 = (l + r + 1) >> 1;
			if (calc(now, mid2).se - mid < eps) l = mid2;
			else r = mid2 - 1;
		}
		ans[++cnt] = calc(now, l).fi, now = l + 1;
	}
	return cnt <= m;
}

inline void work() {
	double l = 0, r = 2000000;
	while (r - l >= eps) {
		double mid = (l + r) / 2;
		if (check(mid)) r = mid;
		else l = mid;
	}
	printf("%.8lf\n", r);
	check(r);
	printf("%d\n", cnt);
	for (int i = 1; i <= cnt; ++i) printf("%.8lf %.8lf\n", ans[i].x, ans[i].y);
}

inline void init() {
	srand(time(0) + (ull)new char);
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
	freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
	init();
	work();
	fclose(stdin), fclose(stdout);
	return 0;
}