题目描述

传说很久以前,大地上居住着一种神秘的生物:地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说,一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段,每段有一个独一无二的高度 Hi,其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高,则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉,其他都有两段(即左边和右边)。 类似地,如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低,则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒,酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸,地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物,他们在每座山峰上都可以设立瞭望台,并轮 流担当瞭望工作,以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一,只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道,长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i,使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大,你只对它 除以P的余数感兴趣。

输入格式

仅含一行,两个正整数 N, P。

输出格式

仅含一行,一个非负整数,表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

样例

样例输入

4 7

样例输出

3

数据范围与提示

对于 20%的数据,满足 N≤10;
对于 40%的数据,满足 N≤18;
对于 70%的数据,满足 N≤550;
对于 100%的数据,满足 3≤N≤4200,P≤10910^910​9​​

当时思路:当时看这个题,因为在组合数专题,所以一直想推式子,但是wxy说这是个非常简单的dp 但是没有想到;

做题题解:

  1. 首先依题,这个题的状态很单一:1)要么 峰谷峰谷... 2)要么谷峰谷峰..
  2. 由此可想到:当这个点为峰时,可由上一个点为谷转移过来;

且同时可以发现对于一个长度为i的山,有任意i个不同的数放到这个山上(不考虑其他因素)可以产生的方案数是一定的,这和Perm 排列计数是一样的;

3.  而且对于每个2.中的方案数,使其不受约束的条件只有下一个点的高度,而又任意的i个数在方案中都符合,例如(4231和9 5 7 3)是一样的,所以只考虑排名,只要新增一个点后,这个点为峰的排名要比下一个谷排名靠前即可;

4. 因此设f[i][j]表示只考虑i长度的山且最后一个是谷,且高度第j小的方案数;

设g[i][j]表示只考虑i长度的山且最后一个是峰,高度为第j小的方案数;

5. 这样就可以两者相互转推 f[i][j]=∑(k(j to i-1))g[i-1][k];同理 g[i][j]=∑(k(1 to j-1))f[i-1][k];

   6.但是这样是N^3 的复杂度 ,wxy嘲讽我过不了;

  7.其实可以用前缀和优化啊,就可以优化成N^2;

  8.对了因为128M的内存,必须开滚动的

  

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N,mod;
int g[][],f[][],sg[],sf[];
int main()
{
scanf("%d%d",&N,&mod);
g[][]=f[][]=;
int now=;
for(int i=;i<=N;++i,now^=){
for(int j=;j<=i-;++j)f[j][now]=g[j][now]=sg[j]=sf[j]=;
for(int j=;j<=i;++j)
sg[j]=(sg[j-]+g[j][now^])%mod,sf[j]=(sf[j-]+f[j][now^])%mod;
for(int j=;j<=i-;++j){
f[j][now]=(f[j][now]+(sg[i-]-sg[j-]+mod)%mod)%mod;
}
for(int j=;j<=i;++j){
g[j][now]=(g[j][now]+(sf[j-]+mod)%mod)%mod;
}
}
int ans=;
for(int i=;i<=N;++i)ans=(ans+g[i][now^])%mod;
for(int i=;i<=N-;++i)ans=(ans+f[i][now^])%mod;
printf("%d\n",ans%mod);
}

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