算法问题：最长滑道问题（非递归，C++）

这是爱奇艺的一道算法题。

题目描述请参考博客http://blog.csdn.net/sinat_30186009/article/details/52356053，在此表示感谢。

基本思路参考了以上文章，但是上面文章中的算法是java版，这是次要的，主要的问题是算法用的是原始递归思想，这样会造成计算量及其大，时间复杂度为O(n^2)。

本文旨在用C++语言解决上述问题，并且在递归的基础上进行改进，使得时间复杂度降为O(n)。其中n为高度矩阵的元素个数即row*col。

代码说明：

　输入：

　　高度矩阵行数： row

　　高度矩阵列数： col

　　高度矩阵     ： dots

　输出：

　　最长滑道值：LargestSlideValue

　　滑道长度矩阵：dotsLength，该矩阵最大值到最小值的路径即为最长滑道路径

　　函数findLargestSlide()调用次数：Call_Of_findLargestSlide()

 #include <iostream>
 #include <vector>
 #include <iomanip>

 using namespace std;

 //减少寻找过程（前面几种算法都会重复计算，本算法记录每个点的最大路径，下次寻找到该点时直接加即可！降低时间复杂度关键思想）
 int countfindLargestSlide=;//用于计录函数findLargestSlide调用次数
 //寻找最长滑道路径（前后两点不等高）
 int findLargestSlide(int x,int y,const vector<vector<int> >& dots,vector<vector<int> >& dotsLength)
 {
     countfindLargestSlide++;

     int left=y-;
     int right=y+;
     int up=x-;
     int down=x+;

     int left_value=;
     int right_value=;
     int up_value=;
     int down_value=;

     if(left>=&&dots[x][left]<dots[x][y]){
         if(==dotsLength[x][left])//如果为0，表示该点没有被计算过，因此需要调用findLargestSlide来寻找基于该点的最长滑道
             dotsLength[x][left]=left_value=findLargestSlide(x,left,dots,dotsLength);
         else　　//如果不为0，表示该点已经被计算过，不用重新计算，下同（降低时间复杂度关键代码）
             left_value=dotsLength[x][left];
     }

     if(right<=(int)dots[].size()-&&dots[x][right]<dots[x][y]){
         if(==dotsLength[x][right])
             dotsLength[x][right]=right_value=findLargestSlide(x,right,dots,dotsLength);
         else
             right_value=dotsLength[x][right];
     }

     if(up>=&&dots[up][y]<dots[x][y]){
         if(==dotsLength[up][y])
             dotsLength[up][y]=up_value=findLargestSlide(up,y,dots,dotsLength);
         else
             up_value= dotsLength[up][y];
     }

     if(down<=(int)dots.size()-&&dots[down][y]<dots[x][y]){
         if(==dotsLength[down][y])
             dotsLength[down][y]=down_value=findLargestSlide(down,y,dots,dotsLength);
         else
             down_value= dotsLength[down][y];
     }

     int max1=left_value>=right_value?left_value:right_value;
     int max2=up_value>=down_value?up_value:down_value;
     int max=max1>=max2?max1:max2;

     dotsLength[x][y]=max+;//加上寻找点自身的路径长度1

     return dotsLength[x][y];
 }

 int main()
 {
     //行和列
     int row,col=;
     cout<<"please input row and col: ";
     cin>>row>>col;
     cout << "row= "<<row<<" "<<"col= "<<col << endl;
     cout<<"please input dotsMatrix:"<<endl;
     //矩阵（每点代表一个高度）
     vector<vector<int> > dots(row,vector<int>(col,));
     //输入矩阵
     for(vector<int>& valrow:dots)
         for(int & valcol:valrow)
             cin>>valcol;

     //矩阵，记录每个点对应的滑道长度
     vector<vector<int> > dotsLength(row,vector<int>(col,));
     cout<<"--------------------"<<endl;
     //输出矩阵以验证矩阵确实输入正确
     cout<<"dots:"<<endl;
     for(int i=;i<row;i++)
     {
         for(int j=;j<col;j++)
             cout<<setw()<<dots[i][j];
         cout<<endl;
     }

     int max_value=;
     for(int i=;i<row;i++)
     {
         for(int j=;j<col;j++)
         {
             int current_value=findLargestSlide(i,j,dots,dotsLength);
             if(current_value>max_value)
             {
                 max_value=current_value;
             }
         }
     }

     cout<<"--------------------"<<endl;
     cout<<"LargestSlideValue= "<<max_value<<endl;
     cout<<"--------------------"<<endl;
     //输出dotsLength,从该矩阵中可以方便直观地看出滑动路线(可能有多条，从最大值到最小值)
     cout<<"dotsLength:"<<endl;
     for(int i=;i<row;i++)
     {
         for(int j=;j<col;j++)
             cout<<setw()<<dotsLength[i][j];
         cout<<endl;
     }
     cout<<"--------------------"<<endl;
     //输出调用findLargestSlide函数的次数，本程序时间复杂度为线性复杂度：O(n)
     cout<<"Call_Of_findLargestSlide(): "<<countfindLargestSlide<<endl;

     return ;
 }

简单对比一下改进前后的效果：

测试样例：

改进前：

改进后：

可以看出，最长滑道长度为17，改进前，函数findLargestSlide()调用841次，改进后为54次，因此我们用递归算法时一定要考虑是否可以优化。

滑道长度矩阵dotsLength中的每个值代表从该点开始滑下，可获得的滑道最长值。长度为17的最长滑道标注如下图：

意即从高度为23的顶端（dotsLength中对应的点）沿着图中蓝线一直滑到高度为1的底部（dotsLength中对应的点）。当然还有其他长度的滑道，可以从图中方便地找出来。

最后，关于时间复杂度的具体数值，时间复杂度在改进前后分别为O(n^2)和O(n),但需要注意的是，即使同样维度的矩阵，数值不同的时候函数findLargestSlide()的调用次数可能不同，但时间复杂度量级是相同的。

时间复杂度简要分析：

　　改进前：粗略计算应为30*30，但是不可能每个点都会讲所有点递归计算一遍，因此最终的结果841要小于30*30=900。

　　改进后：时间复杂度应该为30呀？为啥这里比30大呢？因为在main()函数内，每个元素均要计算基于它的最长滑道，均要调用一次findLargestSlide()函数，总共30个点，因此调用30次。但是要注意的是，主函数计算基于每个值的最长滑道时，并不知道这个值之前有没有被计算过，它只有按照main()函数的流程再次调用findLargestSlide()函数，进入之后才知道是否被计算过，因此要加上前面计算其他点时递归计算过该点的次数（每个点最多一次，可能0次），因此所以就比30大了，但绝对不会超过30*2-1=59（这种情况发生在计算每个点的最长滑道时都发现之前被递归计算过，除了第一个点）。因此精确的时间复杂度为：最好时为n次，最坏时为2n-1次。

举例：

测试数据（一种最坏情况）：

另一种最坏情况：

以第一种最坏情况为例（都是一样的），第一次计算30对应的最长滑道时，已经递归计算了其他点的最长滑道（总共计算了30次），然而main()函数并不知道这一点呀，因此继续计算29对应的最长滑道，进去发现，哎呀！已经计算过了那太好了（但是记得从main()函数调用findLargestSlide()也要计数，加1次），同样，28,27,26，...，3,2,1，直到计算完毕，总共调用findLargestSlide()函数的次数为30+29*1=59次。

测试数据（一种最好情况）：

在上面的最好情况下，每次只计算一个点对应的最长滑道，不会出现递归计算，总共调用findLargestSlide()函数的次数为30次（均为main()函数调用）。

就到这里啦，有不足的地方敬请指正，欢迎交流。

附注（文章https://blog.csdn.net/sinat_30186009/article/details/52356053内容）

1.题目描述

Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

 1  2  3  4 5

16 17 18 19 6

15 24 25 20 7

14 23 22 21 8

13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

输入输出：

Input

输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

Output

输出最长区域的长度。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

Sample Output

25

2.思路分析

这道题实际上就是要求从最大值到最小值所能经过的最长路径，那么我们可以这么考虑，对于每一个坐标点，它到最小值的必定有一个最长路径len,那么我们只要找出所有坐标点到最小值的最长路径，然后再从中找到最大值即为所求答案。这样，我们的问题就只剩下如何求一个坐标点到最小值的最大长度len，很快我们发现每个坐标点的len必定是其上下左右坐标的len+1,这样我们就可以使用递归来解决这个问题了，详细看代码。

 

3.代码实现

 import java.util.Scanner;

 public class Main {
     public static void main(String[] args) {
         Scanner sc=new Scanner(System.in);
         String line=sc.nextLine();
         String[] str=line.split(" ");
         int row=Integer.parseInt(str[0]);
         int column=Integer.parseInt(str[1]);
         int[][] matrix=new int[row][column];
         for(int i=0;imax_value){
                     max_value=current_value;
                 }
             }
         }

         System.out.println(max_value);
     }

     private static int maxLength(int x,int y,int[][] matrix) {

         int left=y-1;
         int right=y+1;
         int up=x-1;
         int down=x+1;
         int left_value=0;
         int right_value=0;
         int up_value=0;
         int down_value=0;
         if(left>=0&&matrix[x][left]=0&&matrix[up][y]right_value?left_value:right_value;
         int max2=up_value>down_value?up_value:down_value;

         return (max1>max2?max1:max2)+1;
     }
 }