No.3 数组中重复的数字 (P39)

题目1：找出数组中重复的数字

【题目描述】

在一个长度为n的数组里的所有数字都在0到n-1的范围内。 数组中某些数字是重复的，但不知道有几个数字是重复的。也不知道每个数字重复几次。请找出数组中任意一个重复的数字。

例如，如果输入长度为7的数组{2,3,1,0,2,5,3}，那么对应的输出是重复的数字2或者3。

【思路】

方法1：先排序，后比较

最简单直接的方式，先对数组进行排序，然后从头到尾扫描数组。时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1).

方法2：哈希表

如何进一步降低空间复杂度？ 可以采用哈希表。

从头到尾扫描整个数组，每扫描一个数字的时候先判断hash table中是否已经包含该数字，如果包含，则找到重复的数字；如果不包含，则将该数字加入到hash table中。

时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

方法3：位置交换

如何在保证低空间复杂度的情况下，降低空间复杂度？我们可以通过题目设定的条件进一步思考。

审题可知数组中总共有n个数字，并且这n个数字的取值范围是[0, n-1]，也就是说，如果整个数组没有重复数字的话，那么每个数字 i 都可以放到第 i+1 的位置上。相反，如果有重复数字出现，那么这样的存放方法是不可行的。基于这一考虑，我们可以采用如下办法： 从左到右扫描数组A，对于位置 $i \in [0, n-1]$, 如果$A[i] = i$, 则继续扫描下一位置 i+1；如果$A[i] \neq i$, 则比较数字A[i]与位置A[i]上的数字，如果相等，说明出现重复数字A[i]，如果不等，则将两个数字置换，然后再次对位置 i上的数字重复上述操作。

 

题目2：不修改数组找出重复的数字

【题目描述】

在一个长度为n+1的数组里的所有数字都在1到n的范围内，所以数组中至少有一个数字是重复的。请找出数组中任意一个重复的数字，并且不能修改输入的数组。

例如，如果输入长度为8的数组{2,3,5,4,3,2,6,7}，那么对应的输出是重复的数字2或者3。

【思路】

方法1：把数字插入到辅助数组

与题目1类似，但是要求不能改变原始数组，因此我们可以采用题目1中的方法3类似的思想(i.e. 让数字归位到对应的index上)。创建一个辅助数组，将原数组中的数字依次放入到辅助数组中对应的位置上，这样很容易发现那个数字是重复的。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

方法2：二分查找统计

如何避免使用O(n)的辅助空间呢？

将数字1~n从中间数字m分成两部分，前一半为1~m，后一半为m+1~n。在数组中检索1~m这几个数字出现的次数之和(即1<= x <=m)，如果数目超过m，说明这一半区间内肯定包含重复数字，否则重复数字肯定包含在另一半内。接下来，可以继续把包含重复数字的区间一分为二，直到找到某个重复的数字。

二分的次数为O(logn)，每次需要O(n)的时间来统计数字出现次数，因此总时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)。

需要注意的是，该方法不能保证找出所有重复的数字。比如{2,3,5,4,3,2,6,7},不能找出重复数字2，因为1~2中只有2个数字，并且该范围内的数字也只出现了2次。