hdu 5755（高斯消元——模线性方程组模板）

PS. 看了大神的题解，发现确实可以用m个未知数的高斯消元做。因为确定了第一行的情况，之后所有行的情况都可以根据第一行推。这样复杂度直接变成O(m*m*m)

知道了是高斯消元后，其实只要稍加处理，就可以解决带模的情况。

1 是在进行矩阵行变化的时候，取模。

2 最后的除法用逆元。（因为a[i][i]必定非0 且小于模数）

然后对于无穷多解的情况，只需要将那些列全为0的未知数定义一个固定值。（这里设的是0）其余操作不变。

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <queue>

#include <stack>

#include <set>

#include <map>

#include <string>

#define CL(a,num) memset((a),(num),sizeof(a))

#define iabs(x)  ((x) > 0 ? (x) : -(x))

#define Min(a,b) (a) > (b)? (b):(a)

#define Max(a,b) (a) > (b)? (a):(b)

#define ll long long

#define inf 0x7f7f7f7f

#define MOD 100000007

#define lc l,m,rt<<1

#define rc m + 1,r,rt<<1|1

#define pi acos(-1.0)

#define test puts("<------------------->")

#define maxn 100007

#define M 100007

#define N 1010

using namespace std;

//freopen("din.txt","r",stdin);

int a[N][N],X[N];//分别记录增广矩阵和解集

int free_x[N];//记录自由变量

int equ,var;//分别表示方程组的个数和变量的个数

int GCD(int x,int y){

    if (y == ) return x;

    return GCD(y,x%y);

}

int LCM(int x,int y){

    return x/GCD(x,y)*y;

}

void Debug(void)

{

    int i, j;

    for (i = ; i < equ; i++)

    {

        for (j = ; j < var + ; j++)

        {

            cout << a[i][j] << " ";

        }

        cout << endl;

    }

    cout << endl;

}

// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，

//但无整数解,-1表无整数解,-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，

//并返回自由变元的个数)

//ax + by = gcd(a,b)

//传入固定值a,b.放回 d=gcd(a,b), x , y

void extendgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)

{

    if(b==){d=a;x=;y=;return;}

    extendgcd(b,a%b,d,y,x);

    y-=x*(a/b);

}

//Ax=1(mod M)，gcd(A,M)==1

//输入：10^18>=A,M>=1

//输出：返回x的范围是[1,M-1]

ll GetNi(ll A,ll MM)

{

    ll rex=,rey=;

    ll td=;

    extendgcd(A,MM,td,rex,rey);

    return (rex%MM+MM)%MM;

}

int Guass(){

    int i,j,k,col;

    CL(X,); CL(free_x,);

    for (k = ,col = ; k < equ && col < var; k++, col++){

        int max_r = k;

        for (i = k + ; i < equ; ++i){

            if (iabs(a[i][col]) > iabs(a[max_r][col])) max_r = i;

        }

        if (max_r != k){

            for (i = k; i < var + ; ++i) swap(a[k][i],a[max_r][i]);

        }

        if (a[k][col] == ){

            //可以随意定义的变量

            X[col] = ;//强制赋值为0

            free_x[col] = ;

            k--;

            //cout<<k<<endl;

            continue;

        }

        for (i = k + ; i < equ; ++i){

            if (a[i][col] != ){

                int lcm = LCM(a[k][col],a[i][col]);

                int ta = lcm/iabs(a[i][col]); int tb = lcm/iabs(a[k][col]);

                if (a[i][col]*a[k][col] < ) tb = -tb;

                for (j = col; j < var + ; ++j){

                    a[i][j] = ((ta*a[i][j] - tb*a[k][j])%+)%;

                }

            }

        }

    }

    //Debug();

    // 1. 无解的情况:

    for (i = k; i < equ; ++i){

        if (a[i][col] != ) return -;

    }

    // 2. 无穷解的情况:

    if (k < var){

        int num = ,freeidx=;

        for (i = k - ; i >= ; --i){

            num = ;

            int tmp = a[i][var];

            for (j = ; j < var; ++j){

                if (a[i][j] !=  && free_x[j]){

                    num++;

                    freeidx = j;

                }

            }

            if (num > ) continue;

            tmp = a[i][var];

            for (j = ; j < var; ++j){

                if (a[i][j] && j != freeidx) tmp -= a[i][j]*X[j];

            }

            //这里也要

            int k2 = (tmp%+)%;

            int k1 = (a[i][freeidx]%+)%;

            if(k1!=)

            {

                X[freeidx] = k2*(int)GetNi(k1, );

            }

            else

            {

                X[freeidx] = ;

                //printf("X[%d]为任意？\n",i);

            }

            //X[freeidx] = tmp/a[i][freeidx];

            free_x[freeidx] = ;

        }

        return var - k;

    }

    // 3. 唯一解的情况:

    for (i = k - ; i >= ; --i){

        int tmp = a[i][var];

        for (j = i + ; j < var; ++j){

            tmp -= a[i][j]*X[j];

        }

        //强行搞一发

        int k2 = (tmp%+)%;

        int k1 = (a[i][i]%+)%;

        if(k1!=)

        {

            X[i] = k2*(int)GetNi(k1, );

        }

        else

        {

            X[i] = ;

            //printf("X[%d]为任意？\n",i);

        }

        //X[i] = tmp/a[i][i];//不整除？

    }

    return ;

}

int g[][];

int getid(int i,int j,int n,int m)

{

    return (i-)*m + (j-);

}

int up[]={,-,,};

int rl[]={,,,-};

int main(){

    //freopen("din.txt","r",stdin);

    int i,j;

    int T;

    cin>>T;

    while(T--)

    {

        int n,m;

        scanf("%d%d",&n,&m);

        for(i=;i<=n;i++)

            for(j=;j<=m;j++)

                scanf("%d",&g[i][j]);

        equ = n*m;

        var = n*m;

        memset(a,,sizeof(a));

        int id = ;

        for(i=;i<=n;i++)

            for(j=;j<=m;j++)

            {

                for(int k=;k<;k++)

                {

                    int ti = i+up[k];

                    int tj = j+rl[k];

                    if( ti>=&&ti<=n && tj>=&&tj<=m )

                    {

                        int tid = getid(ti, tj, n, m);

                        a[id][tid] = ;

                    }

                }

                a[id][id] = ;

                a[id][n*m] = (-g[i][j])%;

                id++;

            }

        CL(X,);

        CL(free_x,);

        //for (i = 0; i < equ; ++i)

            //for (j = 0; j < var + 1; ++j) scanf("%d",&a[i][j]);

        //Debug();

        int free_num = Guass();

        if (free_num == -) printf("无解！\n");

        else if (free_num == -) printf("无整数解\n");

        else {

//        else if (free_num > 0){

            //printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);

            //我懂了，我需要确定free_num个数

//            for (i = 0; i < var; ++i){

//                if (free_x[i]) printf("X%d 是不确定的\n",i + 1);

//                else printf("X%d %d\n",i + 1,X[i]);

//            }

//        }

//        else{

            //我觉得可以！

            int ans = ;

            for (i =  ; i < var; ++i){

                if(X[i]% != ) ans += (X[i]%+)%;

                //printf("X%d %d\n",i + 1,X[i]);

            }

            printf("%d\n",ans);

            for(i=;i<var;i++)

            {

                int tmp =  (X[i]%+)%;

                for(j=;j<tmp;j++)

                {

                    int x,y;

                    x = i/m;

                    y = i%m;

                    x++; y++;

                    printf("%d %d\n",x,y);

                }

            }

        }

        //printf("\n");

    }

    return ;

}

/*

 10

 3 3

 0 0 0

 0 0 0

 0 0 1

 1 2

 0 0

 2 30

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

 */

2. m个未知数的情况

//

//  main.cpp

//  hdu5755.1

//

//  Created by New_Life on 16/8/4.

//  Copyright © 2016年 chenhuan001. All rights reserved.

//

#include <iostream>

#include <string.h>

#include <stdio.h>

#include <algorithm>

#include <queue>

#include <stack>

#include <set>

#include <map>

#include <string>

#define CL(a,num) memset((a),(num),sizeof(a))

#define iabs(x)  ((x) > 0 ? (x) : -(x))

#define Min(a,b) (a) > (b)? (b):(a)

#define Max(a,b) (a) > (b)? (a):(b)

#define ll long long

#define inf 0x7f7f7f7f

#define MOD 100000007

#define lc l,m,rt<<1

#define rc m + 1,r,rt<<1|1

#define pi acos(-1.0)

#define test puts("<------------------->")

#define maxn 100007

#define M 100007

#define N 33

using namespace std;

//freopen("din.txt","r",stdin);

int a[N][N],X[N];//分别记录增广矩阵和解集

int free_x[N];//记录自由变量

int equ,var;//分别表示方程组的个数和变量的个数

int GCD(int x,int y){

    if (y == ) return x;

    return GCD(y,x%y);

}

int LCM(int x,int y){

    return x/GCD(x,y)*y;

}

void Debug(void)

{

    int i, j;

    for (i = ; i < equ; i++)

    {

        for (j = ; j < var + ; j++)

        {

            cout << a[i][j] << " ";

        }

        cout << endl;

    }

    cout << endl;

}

// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，

//但无整数解,-1表无整数解,-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，

//并返回自由变元的个数)

//ax + by = gcd(a,b)

//传入固定值a,b.放回 d=gcd(a,b), x , y

void extendgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)

{

    if(b==){d=a;x=;y=;return;}

    extendgcd(b,a%b,d,y,x);

    y-=x*(a/b);

}

//Ax=1(mod M)，gcd(A,M)==1

//输入：10^18>=A,M>=1

//输出：返回x的范围是[1,M-1]

ll GetNi(ll A,ll MM)

{

    ll rex=,rey=;

    ll td=;

    extendgcd(A,MM,td,rex,rey);

    return (rex%MM+MM)%MM;

}

int Guass(){

    int i,j,k,col;

    CL(X,); CL(free_x,);

    for (k = ,col = ; k < equ && col < var; k++, col++){

        int max_r = k;

        for (i = k + ; i < equ; ++i){

            if (iabs(a[i][col]) > iabs(a[max_r][col])) max_r = i;

        }

        if (max_r != k){

            for (i = k; i < var + ; ++i) swap(a[k][i],a[max_r][i]);

        }

        if (a[k][col] == ){

            //可以随意定义的变量

            X[col] = ;//强制赋值为0

            free_x[col] = ;

            k--;

            //cout<<k<<endl;

            continue;

        }

        for (i = k + ; i < equ; ++i){

            if (a[i][col] != ){

                int lcm = LCM(a[k][col],a[i][col]);

                int ta = lcm/iabs(a[i][col]); int tb = lcm/iabs(a[k][col]);

                if (a[i][col]*a[k][col] < ) tb = -tb;

                for (j = col; j < var + ; ++j){

                    a[i][j] = ((ta*a[i][j] - tb*a[k][j])%+)%;

                }

            }

        }

    }

    //Debug();

    // 1. 无解的情况:

    for (i = k; i < equ; ++i){

        if (a[i][col] != ) return -;

    }

    // 2. 无穷解的情况:

    if (k < var){

        int num = ,freeidx=;

        for (i = k - ; i >= ; --i){

            num = ;

            int tmp = a[i][var];

            for (j = ; j < var; ++j){

                if (a[i][j] !=  && free_x[j]){

                    num++;

                    freeidx = j;

                }

            }

            if (num > ) continue;

            tmp = a[i][var];

            for (j = ; j < var; ++j){

                if (a[i][j] && j != freeidx) tmp -= a[i][j]*X[j];

            }

            //这里也要

            int k2 = (tmp%+)%;

            int k1 = (a[i][freeidx]%+)%;

            if(k1!=)

            {

                X[freeidx] = k2*(int)GetNi(k1, );

            }

            else

            {

                X[freeidx] = ;

                //printf("X[%d]为任意？\n",i);

            }

            //X[freeidx] = tmp/a[i][freeidx];

            free_x[freeidx] = ;

        }

        return var - k;

    }

    // 3. 唯一解的情况:

    for (i = k - ; i >= ; --i){

        int tmp = a[i][var];

        for (j = i + ; j < var; ++j){

            tmp -= a[i][j]*X[j];

        }

        //强行搞一发

        int k2 = (tmp%+)%;

        int k1 = (a[i][i]%+)%;

        if(k1!=)

        {

            X[i] = k2*(int)GetNi(k1, );

        }

        else

        {

            X[i] = ;

            //printf("X[%d]为任意？\n",i);

        }

        //X[i] = tmp/a[i][i];//不整除？

    }

    return ;

}

int g[][];

int save[][][];

int getni(int x)

{

    if(x==) return ;

    if(x==) return ;

    return ;

}

void func(int x,int y)

{

    g[x][y] = (g[x][y]+)%;

    g[x+][y] = (g[x+][y]+)%;

    g[x][y+] = (g[x][y+]+)%;

    g[x-][y] = (g[x-][y]+)%;

    g[x][y-] = (g[x][y-]+)%;

}

int main() {

    int T;

    cin>>T;

    while(T--)

    {

        int n,m;

        scanf("%d%d",&n,&m);

        for(int i=;i<=n;i++)

            for(int j=;j<=m;j++)

                scanf("%d",&g[i][j]);

        memset(save,,sizeof(save));

        for(int i=;i<=m;i++)

        {

            save[][i][i] = ;

        }

        for(int i=;i<=n;i++)

        {

            for(int j=;j<=m;j++)

            {

                for(int k=;k<=m;k++)

                {

                    int tmp = (save[i-][j][k]*+save[i-][j+][k]+save[i-][j-][k]) + save[i-][j][k];

                    if(k == ) tmp += g[i-][j];

                    tmp %= ;

                    save[i][j][k] = getni(tmp);

                }

            }

        }

        //然后构建矩阵

        memset(a,,sizeof(a));

        equ = m;

        var = m;

        for(int j=;j<=m;j++)

        {

            for(int k=;k<=m;k++)

            {

                int tmp = save[n][j][k]*+save[n][j+][k]+save[n][j-][k] + save[n-][j][k];

                if(k==)

                {

                    tmp += g[n][j];

                    a[j-][m] = getni(tmp%);

                }

                else a[j-][k-] = tmp%;

            }

        }

        CL(X,);

        CL(free_x,);

        int free_num = Guass();

        if(free_num == - || free_num == -){ cout<<free_num<<" 错误"<<endl; continue;}

        int ans = ;

        int saveans[][];

        memset(saveans,,sizeof(saveans));

        for(int i=;i<=n;i++)

            for(int j=;j<=m;j++)

            {

                int tmp = ;

                for(int k=;k<=m;k++)

                {

                    if(k==) tmp += save[i][j][];

                    else tmp += save[i][j][k]*X[k-];

                    tmp %= ;

                }

                ans += tmp;

                saveans[i][j] = tmp;

            }

        printf("%d\n",ans);

        for(int i=;i<=n;i++)

            for(int j=;j<=m;j++)

            {

                for(int k=;k<saveans[i][j];k++)

                {

                    printf("%d %d\n",i,j);

                    //func(i,j);

                }

            }

//        for(int i=1;i<=n;i++)

//        {

//            for(int j=1;j<=m;j++) printf("%d ",g[i][j]);

//            printf("\n");

//        }

    }

    return ;

}

/*

 10

 1 3

 0 0 1

 3 3

 0 0 0

 0 0 0

 0 0 1

 1 2

 0 0

 2 30

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

 */

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