BZOJ1004: [HNOI2008]Cards(Burnside引理背包dp)

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Description

　　小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有
多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方
案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.
两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗
成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数).

Input

　　第一行输入 5 个整数：Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)。n=Sr+Sb+Sg。
接下来 m 行，每行描述一种洗牌法，每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn，恰为 1 到 n 的一个排列，
表示使用这种洗牌法，第 i位变为原来的 Xi位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代
替，且对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

Output

　　不同染法除以P的余数

Sample Input

1 1 1 2 7
2 3 1
3 1 2

Sample Output

HINT

　　有2 种本质上不同的染色法RGB 和RBG，使用洗牌法231 一次可得GBR 和BGR，使用洗牌法312 一次可得BRG

和GRB。

100%数据满足 Max{Sr,Sb,Sg}<=20。

Source

这题非常的妙啊。

第一眼看过去应该是P♂lya定理，但是考虑到P♂lya定理是用颜色数做底数计算的，而此题有颜色数的限制，

所以我们考虑它最原始的版本—Burnside引理

这题置换的个数直接给出了($M$)

因此我们只需要求出每个置换中不动点的方案再乘上$M$Z在模$P$意义下的逆元就行了

考虑如何求每个置换中的不动点

联想P♂lya定理。我们在每个循环节中都必须要放同样的颜色，这题也是一样的，只不过多了个数的限制

那么我们直接把个数的限制当做状态dp就行了

设$f[i][a][b]$表示前$i$个循环节，用了$a$个红颜色，$b$个蓝颜色，$c$个黄颜色

转移的时候判断当前放的个数时候大于循环节长度，背包转移

注意最初的状态也算一种方案

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#define LL long long

const int MAXN = 1e5 + ;

using namespace std;

inline int read() {

    char c = getchar(); int x = , f = ;

    while(c < '' || c > '') {if(c == '-') f = -; c = getchar();}

    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();

    return x * f;

}

int Sr, Sb, Sg, N, M, mod, change[MAXN];

int f[][][], len[], vis[], num = ; // f[i][j][k]前i个循环节，用了j个红，k个蓝， i - j - k个绿 len[i]第i个循环节有几个元素

int F(int *a) {

    memset(f, , sizeof(f));

    memset(len, , sizeof(len));

    memset(vis, , sizeof(vis));

    num = ;

    for(int i = ; i <= N; i++) {

        if(!vis[i]) {

            int cur = i; num++;

            while(!vis[i]) len[num]++, vis[i] = ,  i = a[i];

        }

    }

    f[][][] = ;

    for(int i = ; i <= num; i++) {

        for(int a = ; a <= Sr; a++) {

            for(int b = ; b <= Sb; b++) {

                int c = i - a - b, sum = ;

                if(c <  || c > Sg) continue;

                if(a >= len[i]) sum = (sum + f[i - ][a - len[i]][b] ) % mod;

                if(b >= len[i]) sum = (sum + f[i - ][a][b - len[i]] ) % mod;

                if(c >= len[i]) sum = (sum + f[i - ][a][b]) % mod;

                f[i][a][b] = sum % mod;

            }

        }

    }

    return f[num][Sr][Sb] % mod;

}

int inv(int a, int p, int mod) {

    int base = ;

    while(p) {

        if(p & ) base = (base * a) % mod;

        a = (a * a) % mod; p >>= ;

    }

    return base % mod;

}

main() {

    Sr = read(); Sb = read(); Sg = read(); M = read(), mod = read();

    N = Sr + Sb + Sg;

    int ans = ;

    for(int i = ; i <= M; i++) {

        for(int j = ; j <= N; j++) change[j] = read();

        ans += F(change);

    }

    for(int i = ; i <= N; i++) change[i] = i;

    ans += F(change);

    printf("%d", ans * inv(M + , mod - , mod) % mod);

}