题意:求${x^2} \equiv n\bmod p$

解题关键:

定理:若$a$满足$w = {a^2} - n$是模$p$的二次非剩余,即,${x^2} = w\bmod p$无解,则${(a + \sqrt w )^{\frac{{p + 1}}{2}}}$是二次剩余方程${x^2} \equiv n\bmod p$的解。

证明:

$\begin{array}{l}
{x^2} \equiv {(a + \sqrt w )^{p + 1}} \equiv (a + \sqrt w ){(a + \sqrt w )^p}\\
\equiv (a + \sqrt w )(\sum {C_p^i{a^{p - i}}{w^{\frac{i}{2}}}} )\\
\equiv (a + \sqrt w )({a^p} + {w^{\frac{{p - 1}}{2}}}\sqrt w )\\
\equiv (a + \sqrt w )(a - \sqrt w )\\
\equiv n(\bmod p)
\end{array}$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll w,a,x,p,T;
struct CN{
ll x,y;
CN friend operator *(CN x,CN y){
CN z;
z.x=(x.x*y.x+x.y*y.y*w)%p;
z.y=(x.x*y.y+x.y*y.x)%p;
return z;
}
}; CN Cmod_pow(CN x,ll n){
CN z={,};
while(n){
if(n&)z=z*x;
x=x*x;
n>>=;
}
return z;
} ll mod_pow(ll x,ll n,ll p){
ll res=;
while(n){
if(n&) res=res*x%p;
x=x*x%p;
n>>=;
}
return res;
} int main(){
scanf("%lld",&T);
while(T--){
scanf("%lld%lld",&x,&p);
x%=p;
if(p==){
printf("1\n");
continue;
}
if(mod_pow(x,(p-)/,p)==p-){
printf("No root\n");
continue;
}
while(){
a=rand()%p;
w=(a*a-x+p)%p;
if(mod_pow(w,(p-)/,p)==p-) break;
} CN u={a,};
u=Cmod_pow(u,(p+)/);
ll yi=u.x,er=p-u.x;
if(yi>er) printf("%lld %lld\n",er,yi);
else if(yi==er) printf("%lld\n",yi);
else printf("%lld %lld\n",yi,er);
}
}

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