DP石子合并问题

转自：http://www.hnyzsz.net/Article/ShowArticle.asp?ArticleID=735

【石子合并】
    在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
    试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。 
【输入文件】
 包含两行，第1 行是正整数n（1<=n<=100），表示有n堆石子。
 第2行有n个数，分别表示每堆石子的个数。 
【输出文件】
 输出两行。 
 第1 行中的数是最小得分；第2 行中的数是最大得分。 
【输入样例】
4
4 4 5 9
【输出样例】
43
54

【分析】
    本题初看以为可以使用贪心法解决问题，但是事实上因为有必须相邻两堆才能合并这个条件在，用贪心法就无法保证每次都能取到所有堆中石子数最多的两堆。例如下面这个例子：
    6
    3 4 6 5 4 2
    如果使用贪心法求最小得分，应该是如下的合并步骤：
        第一次合并  4 6 5 4     2,3合并得分是５
        第二次合并   6 5 4      5,4合并得分是9
        第三次合并 9 6 5 4        5,4合并得分是9
        第四次合并 9 6 9          9,6合并得分是15
        第五次合并 15 9           15,9合并得分是24
        总得分＝5＋9＋9＋15＋24＝62
    但是如果采用如下合并方法，却可以得到比上面得分更少的方法：
        第一次合并 3 4 6 5 4 2     3,4合并得分是7
        第二次合并   5 4 2       7,6合并得分是13
        第三次合并 13 5 4 2        4,2合并得分是6
        第四次合并 13 5 6          5,6合并得分是11
        第五次合并 13 11           13,11合并得分是24
        总得分＝7＋13＋6＋11＋24＝61
    由此我们知道本题是不可以使用贪心法求解的，上例中第五次合并石子数分别为13和11的相邻两堆。 这两堆石头分别由最初 的第1，2，3堆（石头数分别为3，4，6）和第4，5，6堆（石头数分别为5，4，2）经4次合并后形成的。于是问题又归结为如何使得这两个子序列的N－2次合并的得分总和最优。为了实现这一目标，我们将第１个序列又一分为二：第１、２堆构成子序列１，第３堆为子序列２。第一次合并子序列１中的两堆，得分７；第二次再将之与子序列２的一堆合并，得分13。显然对于第１个子序列来说，这样的合并方案是最优的。同样，我们将第２个子序列也一分为二；第４堆为子序列１，第５，６堆构成子序列２。第三次合 并子序列２中的２堆，得分６；第四次再将之与子序列１中的一堆合并，得分13。显然对于第二个子序列来说，这样的合并方案也是最优的。由此得出一个结论──６堆石子经过这样的５次合并后，得分的总和最小。 
    动态规划思路：
    阶段i：石子的每一次合并过程，先两两合并，再三三合并，...最后N堆合并
    状态s：每一阶段中各个不同合并方法的石子合并总得分。
    决策：把当前阶段的合并方法细分成前一阶段已计算出的方法，选择其中的最优方案
    具体来说我们应该定义一个数组s[i,j]用来表示合并方法，i表示从编号为i的石头开始合并，j表示从i开始数j堆进行合并，s[i,j]为合并的最优得分。
    对于上面的例子来说，初始阶段就是s[1,1],s[2,1],s[3,1],s[4,1],s[5,1],s[6,1]，因为一开始还没有合并，所以这些值应该全部为0。
    第二阶段：两两合并过程如下，其中sum(i,j)表示从i开始数j个数的和
              s[1,2]=s[1,1]+s[2,1]+sum(1,2)
              s[2,2]=s[2,1]+s[3,1]+sum(2,2)
              s[3,2]=s[3,1]+s[4,1]+sum(3,2)
              s[4,2]=s[4,1]+s[5,1]+sum(4,2)
              s[5,2]=s[5,1]+s[6,1]+sum(5,2)
              s[6,2]=s[6,1]+s[1,1]+sum(6,2)
    第三阶段：三三合并可以拆成两两合并，拆分方法有两种，前两个为一组或后两个为一组
         s[1,3]=s[1,2]+s[3,1]+sum(1,3)或s[1,3]=s[1,1]+s[2,2]+sum(1,3)，取其最优
         s[2,3]=s[2,2]+s[4,1]+sum(2,3)或s[1,3]=s[2,1]+s[3,2]+sum(2,3)，取其最优
                             .
                             .
                             .
    第四阶段：四四合并的拆分方法用三种，同理求出三种分法的得分，取其最优即可。以后第五阶段、第六阶段依次类推，最后在第六阶段中找出最优答案即可。

由此得到算法框架如下：
    For j←2 to n do    {枚举阶段，从两两合并开始计算}
      For i←1 to n do   {计算当前阶段的n种不同状态的值}
         For k←1 to j-1 do {枚举不同的分段方法}
           begin
             If i+k>n then t←(i+k) mod n else t←i+k {最后一个连第一个的情况处理}
             s[i,j]←最优{s[i,k]+s[t,j-k]+sum[1,3]} {sum[i,j]表示从i开始数j个数的和}
           end;

代码：

Pascal:

 var
  n:integer;
  a:array[..] of longint;
  s:array[..,..] of longint;
  t:array[..,..] of longint;
  i,j,k,temp,max,min:longint;
 begin
   assign(input,'shizi.in');
   reset(input);
   readln(n);
   fillchar(t,sizeof(t),);      {计算和数组}
   for i:= to n do
     read(a[i]);
   for i:= to n do
     for j:= to n do
       for k:=i to i+j- do
         begin
           if k>n then temp:=k mod n else temp:=k;
           t[i,j]:=t[i,j]+a[temp];
         end;
 {动态规划求最大得分}
   fillchar(s,sizeof(s),);
   for j:= to n do
     for i:= to n do
       for k:= to j- do
         begin
           if i+k>n then temp:=(i+k) mod n else temp:=i+k;  {处理环形问题}
           max:=s[i,k]+s[temp,j-k]+t[i,j];
           if s[i,j]<max then s[i,j]:=max;
         end;
   max:=;        {在最后的阶段状态中找最大得分}
   for i:= to n do
     if max<s[i,n] then max:=s[i,n];

 {动态规划求最小得分}
   fillchar(s,sizeof(s),);
   for j:= to n do
     for i:= to n do
       begin
         min:=maxlongint;
         for k:= to j- do
           begin
             if i+k>n then temp:=(i+k) mod n else temp:=i+k;  {处理环形问题}
             s[i,j]:=s[i,k]+s[temp,j-k]+t[i,j];
             if min>s[i,j] then min:=s[i,j];
           end;
         s[i,j]:=min;
       end;
   min:=maxlongint;  {在最后的阶段状态中找最小得分}
   for i:= to n do
     if min>s[i,n] then min:=s[i,n];

   writeln(max);
   writeln(min);
 end.

C:

 /*

     DP:
         之前没接触过的DP问题，思路不清晰，在参考玩别人思路后有点豁然开朗的感觉。
     一般这种类似要计算到区间和的DP问题一般都达到O(n^3)的时间复杂度，其实与上一题的
      最小m段和有点相似之处。
          思路其实不难，难的是实现，没有一定的积累DP问题的实现是挺难的.求最大和最小
      合并思路是一样的，我就只说求最大和并的思路。要求[1,n]间环形的最大合并，即要求
      求子区间最大合并，逐步递推子状态...直至得出第i个开始合并n个数的最优解 

     状态转移方程：
         dp_max[i][j]=Min(dp_max[i][k]+dp[(i+k+1)%(n+1)][j-k-1]+Sum(i,i+j)) 

 */
 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #define inf 0x7ffffff
 int sum[]; //sum[i]表示第1个到第i石子数的和
 int dp_max[][],dp_min[][]; //dp_max[i][j]表示重第i个开始合并后面j个的最大值
 int n;
 int Max(int a,int b)
 {
     return a>b?a:b;
 }
 int Min(int a,int b)
 {
     return a<b?a:b;
 }
 int Sum(int s,int e) //求s开始后e个数的和
 {
     if(s+e>n+)
         return Sum(s,n-s+)+Sum(,(s+e)%(n+));
     return sum[s+e-]-sum[s-];
 }
 void DP(int &max_n,int &min_n)
 {
     memset(dp_max,,sizeof(dp_max));
     memset(dp_min,,sizeof(dp_min));
     for(int j=;j<=n;j++){  //连续j个合并
         for(int i=;i<=n;i++){ //第i个起
             dp_max[i][j]=;
             dp_min[i][j]=inf;
             for(int k=;k<j;k++){
                 int temp=(i+k)>n?(i+k)%n:(i+k);
                 dp_max[i][j]=Max(dp_max[i][k]+dp_max[temp][j-k]+Sum(i,j),dp_max[i][j]);
                 dp_min[i][j]=Min(dp_min[i][k]+dp_min[temp][j-k]+Sum(i,j),dp_min[i][j]);
             }
         }
     }
     max_n=dp_max[][n];
     min_n=dp_min[][n];
     for(int i=;i<=n;i++){
         max_n=Max(max_n,dp_max[i][n]);
         min_n=Min(min_n,dp_min[i][n]);
     }
 }
 int main(void)
 {
     int max_n,min_n;
     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
     {
         sum[]=;
         for(int i=;i<=n;i++){
             scanf("%d",&sum[i]);
             sum[i]+=sum[i-];
         }
         DP(max_n,min_n);
         printf("Max=%d\nMin=%d\n",max_n,min_n);
     }
     return ;
 }

 /*

 test case:

 5
 1 2 3 4 5

 6
 3 4 6 5 4 2

 */