USACO 4.4.2 追查坏牛奶 oj1341 网络流最小割问题

描述 Description
你第一天接手三鹿牛奶公司就发生了一件倒霉的事情：公司不小心发送了一批有三聚氰胺的牛奶。很不幸，你发现这件事的时候，有三聚氰胺的牛奶已经进入了送货网。这个送货网很大，而且关系复杂。你知道这批牛奶要发给哪个零售商，但是要把这批牛奶送到他手中有许多种途径。送货网由一些仓库和运输卡车组成，每辆卡车都在各自固定的两个仓库之间单向运输牛奶。在追查这些有三聚氰胺的牛奶的时候，有必要保证它不被送到零售商手里，所以必须使某些运输卡车停止运输，但是停止每辆卡车都会有一定的经济损失。你的任务是，在保证坏牛奶不送到零售商的前提下，制定出停止卡车运输的方案，使损失最小。
输入格式 Input Format
第一行: 两个整数N(2<=N<=32)、M(0<=M<=1000), N表示仓库的数目，M表示运输卡车的数量。仓库1代 表发货工厂，仓库N代表有三聚氰胺的牛奶要发往的零售商。 第2..M+1行: 每行3个整数Si,Ei,Ci。其中Si,Ei表示这 辆卡车的出发仓库，目的仓库。Ci(0 <= C i <= 2,000,000) 表示让这辆卡车停止运输的损失。
输出格式 Output Format
第1行两个整数c、t,c表示最小的损失，T表示要停止的最少卡车数。接下来t 行表示你要停止哪几条线路。如果有多种方案使损失最小，输出停止的线路最少的方案。如果仍然还有相同的方案，请选择开始输入顺序最小的。
样例输入 Sample Input

4 5
1 3 100
3 2 50
2 4 60
1 2 40
2 3 80

样例输出 Sample Output

60 1
3

时间限制 Time Limitation
1s
注释 Hint
1s
来源 Source
usaco 4.4.2

不得不说这道题真的是毒，输出最小割，割的边数，以及割的方案。

因为只有1000条边，我们将每条边的流量*1001+1，求出最大流后/1001即是最大流【相信能理解】，%1001之后就是割的边数【这也很好理解】。

　　最难的第三个问题：输出割的方案。虽然可以通过：枚举每条边，先去掉这条边，然后再求最大流，如果最大流的减小值是这条边的权值，那么这条边就在内，输出即可。然而虽然数据量支持我们这么做，但是OJ的数据..........1000条1到4的边，流量都是2000000。虽然可以在评测姬变卡之后仍能过去【gy0.7s此点】，但是写的不知道为什么我自己本地0.9s。但是发现树神有更高级的写法：

　　从源点进行DFS遍历，如果到下一条边流量不为0，继续遍历标记。最后对于每个点枚举它的边，如果x到y有边，x标记，y为标记，说明这条边在最小割中。然而OJ是有数据卡这个方法的。这个方法求的边是第一个遇到的最小割，然而如果1 2 3 4四个点，之间流量都是10，边如下：3 4 10,2 3 10,1 2 10。因为题目要求给出多种方法，按边的序号字典序输出，这四个点割一条边，肯定是都可以的，正解是输出1【3 4这条边，序号为1】。但是图中按此法显然我们求出的是1 ，2。

　　我们便可以发现问题了。但是这种数据只能用来卡序号，这就需要此方法求得的这条边能导致后面不连通。那么显然这条边流量是满的。后面如果出现更优解【字典序更小】，那么也必须流量是满的，且流量一样，并满足边数等于前面。

　　 但是，这也并不是正解，仍然会被卡掉。正解还是删边求最大流。

　　错误但能水过的代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 #define INF 2100000000
 using namespace std;
 int level[];
 int q[];
 int lin[];
 int rev[];
 bool f[];
 bool fe[];
 int len=;
 ll ans=;
 int cnt[];
 struct www
 {
     ll v;
     int id;
 }a[][],b[][],c[];
 ll n,m;
 ll s,t;
 struct qaq{
     int nt,y;
     ll v;
 }e[];
 
 char buf[<<],*fs,*ft;
 inline char getc(){ return(fs==ft && (ft=(fs=buf)+fread(buf,,<<,stdin),fs==ft))?:*fs++; }
 ll read()
 {
     ll x=;
     char ch=getc();
     while(!isdigit(ch)) ch=getc();
     while(isdigit(ch)) {x=(x<<)+(x<<)+ch-''; ch=getc();}
     return x;
 }
 
 void insert(int x,int y,ll v)
 {
     e[++len].nt=lin[x]; e[len].v=v; e[len].y=y; lin[x]=len; rev[len]=len+; fe[len]=;
     e[++len].nt=lin[y]; e[len].v=; e[len].y=x; lin[y]=len; rev[len]=len-;
 }
 
 bool make_level()
 {
     ll head=,tail=;
     memset(level,-,sizeof(level));
     q[]=s;level[s]=;
     while(head++<tail)
     {
         ll x=q[head];
         for(ll i=lin[x];i;i=e[i].nt)
             if(e[i].v && level[e[i].y]==-)
             {
                 level[e[i].y]=level[x]+;
                 q[++tail]=e[i].y;
             }
     }
     return level[t]>=;
 }
 
 ll max_flow(ll k,ll flow)
 {
     if(k==t) return flow;
     ll maxflow=;
     ll v;
     for(ll i=lin[k];i && (maxflow<flow);i=e[i].nt)
         if(e[i].v && level[e[i].y]==level[k]+)
             if(v=max_flow(e[i].y,min(e[i].v,flow-maxflow)))
                 maxflow+=v,e[i].v-=v,e[rev[i]].v+=v;
     if(!maxflow) level[k]=-;
     return maxflow;
 }
 
 ll dinic()
 {
     ans=;
     ll v;
     while(make_level())
         while(v=max_flow(s,INF))
             ans+=v;
     return ans;
 }
 
 void dfs(int k)
 {
     f[k]=;
     for(int i=lin[k];i;i=e[i].nt)
     {
         if(!f[e[i].y]&&e[i].v)
             dfs(e[i].y);
     }
 }
 
 int main()
 {
     freopen("a.txt","r",stdin);
     freopen("b.txt","w",stdout);
     n=read();
     m=read();
     s=,t=n;
     for(ll i=;i<=m;++i)
     {
         int x=read(),y=read();
         ll v=read();
         c[i].v=v;
         insert(x,y,v*+);
     }
     ll tmp=dinic();
     //cout<<tmp<<endl;
     printf("%lld %lld\n",tmp/,tmp%);
     bool flag=;
     for(int i=;i<=m;i++)
         if(c[i].v==tmp/)
         {
             cout<<i<<endl;
             flag=;
         }
     if(flag==) return ;
     dfs();
     //cout<<"--------"<<endl;
     //for(int i=1;i<=n;i++) cout<<f[i]<<' ';cout<<endl;
     int haha=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=lin[i];j;j=e[j].nt)
         {
             if(f[i]&&!f[e[j].y]&&fe[j])
                 cnt[++haha]=(j+)>>;
         }
     }
     sort(cnt+,cnt++haha);
     for(int i=;i<=haha;i++) cout<<cnt[i]<<endl;
     return ;
 }

　　正确的代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 210000000
using namespace std;
struct qwq
{
    int st,ed;
    ll v;
    int id;
}ee[];
int n,m;
bool f[];
int num[];
int nnn=;
struct qaq
{
    int y,nt;
    ll v;
}e[];
int len=;
int rev[];
int lin[];
ll ans;
int level[];
int q[];
int s,t;
 
bool mycmp(qwq aa,qwq bb) {return aa.v>bb.v||(aa.v==bb.v&&aa.id<bb.id);}
 
void insert(int x,int y,ll v)
{
    e[++len].v=v; e[len].y=y; e[len].nt=lin[x]; lin[x]=len; rev[len]=len+;
    e[++len].v=; e[len].y=x; e[len].nt=lin[y]; lin[y]=len; rev[len]=len-;
}
 
bool make_level()
{
    memset(level,-,sizeof(level));
    int head=,tail=;
    q[tail]=s;
    level[s]=;
    while(head++<tail)
    {
        int x=q[head];
        for(int i=lin[x];i;i=e[i].nt)
            if(e[i].v&&level[e[i].y]==-)
            {
                level[e[i].y]=level[x]+;
                q[++tail]=e[i].y;
            }
    }
    return level[t]>=;
}
 
ll max_flow(int k,ll flow)
{
    if(k==t) return flow;
    ll d=;
    ll maxn=;
    for(int i=lin[k];i&&(maxn<flow);i=e[i].nt)
        if(e[i].v&&level[e[i].y]==level[k]+)
            if(d=max_flow(e[i].y,min(e[i].v,flow-maxn)))
                maxn+=d,e[i].v-=d,e[rev[i]].v+=d;
    if(!maxn) level[k]=-;
    return maxn;
}
 
ll dinic()
{
    ll tv=;
    ll td=;
    while(make_level())
        while(td=max_flow(s,INF))
            tv+=td;
    return tv;
}
 
void rebuild()
{
    memset(e,,sizeof(e));
    memset(lin,,sizeof(lin));
    len=;
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        if(f[ee[i].id]) continue;
        insert(ee[i].st,ee[i].ed,ee[i].v);
    }
}
 
void cut_line()
{
    sort(ee+,ee++m,mycmp);
    int cnt=;
    memset(f,,sizeof(f));
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        f[ee[i].id]=;
        rebuild();
        int tmp=dinic();
        if(tmp+cnt+ee[i].v==ans)
        {
            cnt+=ee[i].v;
            num[++nnn]=ee[i].id;
        }
        else f[ee[i].id]=;
    }
}
 
int main()
{
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    s=;t=n;
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&ee[i].st,&ee[i].ed);
        scanf("%lld",&ee[i].v);
        ee[i].id=i;
        insert(ee[i].st,ee[i].ed,ee[i].v*+);
    }
    ans=dinic();
    printf("%lld %lld\n",ans/,ans%);
    ans/=;
    cut_line();
    sort(num+,num++nnn);
    for(int i=;i<=nnn;i++) printf("%d\n",num[i]);
    return ;
}