bzoj1008: [HNOI2008]越狱 数学公式+快速幂
bzoj1008: [HNOI2008]越狱 O(log N)
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监狱有连续编号为1...N的N个房间,每个房间关押一个犯人,有M种宗教,每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同,就可能发生越狱,求有多少种状态可能发生越狱
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输入两个整数M,N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12
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可能越狱的状态数,模100003取余
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Sample Input 2 3
Sample Output 6
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HINT 6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)
考察到 N , M 数据范围极大,甚至 递推 或 1..M 或 1..N 的操作都不行。
考虑本题是否可以推导 O(1) 或 O(log N)数学公式
观察到每个房间中的囚犯可能信仰1..M中任意一个宗教,于是得到 总共会有 M^N 种状态
又发现如果正向推导十分困难,于是考虑 逆向思维 ,推导共有多少种状态不会越狱,
可以看到第一位囚犯可能信仰 M 种宗教,而后的每一种因前面有一位罪犯信仰某一宗教而受限制,
因此只有 M-1 种选择,故 不会越狱的状态数为 M*(M-1)^(N-1) 种
综上所述,可以看出本题的 可能越狱的状态数为 ( M^N - M*(M-1)^(N-1) ) % 100003
再使用快速幂对公式加速可以将 O(N)加速到 O(log N)
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std; typedef long long ll;
const ll mod=1e5+;
ll n,m; ll mod_pow(ll n,ll m){ //快速幂
ll ret=;
while (m>){
if (m&) (ret*=n)%=mod;
(n*=n)%=mod;
m>>=;
}
return ret;
} int main(){
scanf("%lld%lld",&m,&n);
ll ans=mod_pow(m,n)-m*mod_pow(m-,n-)%mod; //公式
ans%=mod;
printf("%lld\n",(ans+mod)%mod); // 为防止ans为负数,对 ans+mod 再%mod,保证 ans 为正
return ;
}
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