首先AUC值是一个概率值,当你随机挑选一个正样本以及负样本,当前的分类算法根据计算得到的Score值将这个正样本排在负样本前面的概率就是AUC值,AUC值越大,当前分类算法越有可能将正样本排在负样本前面,从而能够更好地分类。

AUC计算

  • 最直观的,根据AUC这个名称,我们知道,计算出ROC曲线下面的面积,就是AUC的值。事实上,这也是在早期 Machine Learning文献中常见的AUC计算方法。由于我们的测试样本是有限的。我们得到的AUC曲线必然是一个阶梯状的。因此,计算的AUC也就是这些阶梯 下面的面积之和。这样,我们先把score排序(假设score越大,此样本属于正类的概率越大),然后一边扫描就可以得到我们想要的AUC。但是,这么 做有个缺点,就是当多个测试样本的score相等的时候,我们调整一下阈值,得到的不是曲线一个阶梯往上或者往右的延展,而是斜着向上形成一个梯形。此 时,我们就需要计算这个梯形的面积。由此,我们可以看到,用这种方法计算AUC实际上是比较麻烦的。

  • 一个关于AUC的很有趣的性质是,它和Wilcoxon-Mann-Witney Test是等价的。而Wilcoxon-Mann-Witney Test就是测试任意给一个正类样本和一个负类样本,正类样本的score有多大的概率大于负类样本的score。有了这个定义,我们就得到了另一种计 算AUC的办法。我们知道,在有限样本中我们常用的得到概率的办法就是通过频率来估计之。这种估计随着样本规模的扩大而逐渐逼近真实值。这 和上面的方法中,样本数越多,计算的AUC越准确类似;也和积分时,小区间越细计算越准确同样道理。具体来说就是统计一下所有的 M×N(M为正类样本的数目,N为负类样本的数目)个正负样本对中,有多少个组中的正样本的score大于负样本的score。当二元组中正负样本的 score相等的时候,按照0.5计算。然后除以MN。实现这个方法的复杂度为O(n^2)。n为样本数(即n=M+N)

  • 第三种方法实际上和上述第二种方法是一样的,但是复杂度减小了。它也是首先对score从大到小排序,然后令最大score对应的sample 的rank为n,第二大score对应sample的rank为n-1,以此类推。然后把所有的正类样本的rank相加,再减去M-1种两个正样本组合的情况。得到的就是所有的样本中有多少对正类样本的score大于负类样本的score。然后再除以M×N。即

  1. AUC = \frac{ \sum_{i\in positive} rank - \frac{M(1+M)}2}{M\times N}

附代码实现:

  1. # auc with a formular I don't know how to work..
  2. # Params is a list with tuple contains (precision, label)
  3. # Return a float auc value
  4. #
  5. def auc_only_distinct(_pr_label_tuple_seq = []):
  6. _pr_label_tuple_seq.sort(key=lambda pair : pair[0])
  7. positive_sample_count = sum([1 for pair in _pr_label_tuple_seq if pair[1] == 1 ])
  8. negtive_sample_count = len(_pr_label_tuple_seq) - positive_sample_count
  9. sigma = 1.0 * \
  10. sum(
  11. [ pair[0] for pair in
  12. zip(range(1, 1 + len(_pr_label_tuple_seq)), _pr_label_tuple_seq)
  13. if pair[1][1] == 1])
  14. return (sigma - (positive_sample_count + 1) * positive_sample_count / 2) / positive_sample_count / negtive_sample_count
  15. # auc with Wilcoxon-Mann-Witney Test and dynamic programming
  16. # same as aucByAngel_only_distinct when precision is distinct and same precision all is postive sample
  17. # is different from aucByAngel_only_distinct when same precision but not all positive sample
  18. # Params is a list with tuple contains (precision, label)
  19. # Return a float auc value
  20. #
  21. def auc(_pr_label_tuple_seq = []):
  22. _pr_label_tuple_seq.sort(key=lambda pair : pair[0])
  23. _pr_seq = [ i[0] for i in _pr_label_tuple_seq ]
  24. _pr_rank_tuple_dict = {}
  25. _pr_rank_tuple_seq = zip(_pr_seq, range(1, len(_pr_label_tuple_seq)+1))
  26. for _pr_rank_tuple in _pr_rank_tuple_seq:
  27. precision = _pr_rank_tuple[0]
  28. rank = _pr_rank_tuple[1]
  29. if(_pr_rank_tuple_dict.has_key(precision)):
  30. _rank_count_tuple = _pr_rank_tuple_dict[precision]
  31. old_count = _rank_count_tuple[1]
  32. new_count = old_count + 1
  33. rank = (_rank_count_tuple[0] * old_count + rank) / new_count
  34. _pr_rank_tuple_dict[precision] = (rank, new_count)
  35. else:
  36. _pr_rank_tuple_dict[precision] = (rank * 1.0, 1)
  37. positive_sample_count = sum([1 for pair in _pr_label_tuple_seq if pair[1] == 1 ])
  38. negtive_sample_count = len(_pr_label_tuple_seq) - positive_sample_count
  39. sigma = 1.0 * sum([ _pr_rank_tuple_dict.get(pair[0])[0] for pair in _pr_label_tuple_seq if pair[1] == 1])
  40. return (sigma - (positive_sample_count + 1) * positive_sample_count / 2) / positive_sample_count / negtive_sample_count

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