CodeChef Dynamic GCD

嘟嘟嘟vjudge

我今天解决了一个历史遗留问题！




题意：给一棵树，写一个东西，支持一下两种操作：

1.\(x\)到\(y\)的路径上的每一个点的权值加\(d\)。

2.求\(x\)到\(y\)路径上所有点权的gcd。




树上路径操作自然能想到树剖，但问题在于区间加操作不好维护。

因此我们先考虑序列上的操作。




求gcd，方法除了辗转相除，还有更相减损之术啊！这个有一个非常好的性质，就是两数的gcd等于其中一个数和两数只差的gcd。两数之差，就让我们想到了差分。这样就能从区间修改变成了只修改连个点了！

因此我们维护两个东西：一是差分序列的区间gcd，支持单点修区间查；二是每一个数的权值，支持区间修单点查。对于一个修改区间\([L, R]\)，我们只改\(L\)和\([R + 1]\)的差分值，然后查询的时候只要求\(a[L]\)和\([L + 1, R]\)的gcd就搞定了。




现在变成了树上。这时候，修改的时候，修改单点应该是\(x\)的重儿子和\(x\)所在链顶端的点。

然后查询的时候，求的是每一条链顶端权值和从\(x\)开始往上直到顶端节点儿子的gcd。然后把所有的链的值一块gcd一下。




需要注意的是，如果所有数相等，那么差分序列全是0，这时候要特判：一个数和\(0\)的gcd还是它本身。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 5e4 + 5;
inline ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), last = ' ';
	while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(last == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
inline void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

char s[2];
int n, m, a[maxn];
struct Edge
{
	int nxt, to;
}e[maxn << 1];
int head[maxn], ecnt = -1;
In void addEdge(int x, int y)
{
	e[++ecnt] = (Edge){head[x], y};
	head[x] = ecnt;
}

int dep[maxn], fa[maxn], siz[maxn], son[maxn], dif[maxn];
In void dfs1(int now, int _f)
{
	siz[now] = 1; dif[now] = a[now] - a[_f];  //可能有负数
	for(int i = head[now], v; ~i; i = e[i].nxt)
	{
		if((v = e[i].to) == _f) continue;
		dep[v] = dep[now] + 1, fa[v] = now;
		dfs1(v, now);
		siz[now] += siz[v];
		if(!son[now] || siz[v] > siz[son[now]]) son[now] = v;
	}
}
int dfsx[maxn], pos[maxn], top[maxn], cnt = 0;
In void dfs2(int now, int _f)
{
	dfsx[now] = ++cnt; pos[cnt] = now;
	if(son[now]) top[son[now]] = top[now], dfs2(son[now], now);
	for(int i = head[now], v; ~i; i = e[i].nxt)
	{
		if((v = e[i].to) == _f || v == son[now]) continue;
		top[v] = v;
		dfs2(v, now);
	}
}

In int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
In int GCD(int a, int b)
{
	if(!a || !b) return a | b;
	return gcd(a, b);
}

int l[maxn << 2], r[maxn << 2], dat[maxn << 2], Gcd[maxn << 2], lzy[maxn << 2];
In void build(int L, int R, int now)
{
	l[now] = L, r[now] = R;
	if(L == R)
	{
		dat[now] = a[pos[L]];
		Gcd[now] = dif[pos[L]];
		return;
	}
	int mid = (L + R) >> 1;
	build(L, mid, now << 1);
	build(mid + 1, R, now << 1 | 1);
	Gcd[now] = GCD(abs(Gcd[now << 1]), abs(Gcd[now << 1 | 1]));
}
In void pushdown(int now)
{
	if(lzy[now])
	{
		dat[now << 1] += lzy[now]; dat[now << 1 | 1] += lzy[now];
		lzy[now << 1] += lzy[now]; lzy[now << 1 | 1] += lzy[now];
		lzy[now] = 0;
	}
}
In void update_Sin(int now, int id, int d)
{
	if(l[now] == r[now]) {Gcd[now] += d; return;}
	int mid = (l[now] + r[now]) >> 1;
	if(id <= mid) update_Sin(now << 1, id, d);
	else update_Sin(now << 1 | 1, id, d);
	Gcd[now] = GCD(abs(Gcd[now << 1]), abs(Gcd[now << 1 | 1]));
}
In void update_Lin(int L, int R, int now, int d)
{
	if(l[now] == L && r[now] == R)
	{
		dat[now] += d, lzy[now] += d;
		return;
	}
	pushdown(now);
	int mid = (l[now] + r[now]) >> 1;
	if(R <= mid) update_Lin(L, R, now << 1, d);
	else if(L > mid) update_Lin(L, R, now << 1 | 1, d);
	else update_Lin(L, mid, now << 1, d), update_Lin(mid + 1, R, now << 1 | 1, d);
}
In int query_Sin(int now, int id)
{
	if(l[now] == r[now]) return dat[now];
	pushdown(now);
	int mid = (l[now] + r[now]) >> 1;
	if(id <= mid) return query_Sin(now << 1, id);
	else return query_Sin(now << 1 | 1, id);
}
In int query_Lin(int L, int R, int now)
{
	if(l[now] == L && r[now] == R) return abs(Gcd[now]);
	int mid = (l[now] + r[now]) >> 1;
	if(R <= mid) return query_Lin(L, R, now << 1);
	else if(L > mid) return query_Lin(L, R, now << 1 | 1);
	else return GCD(query_Lin(L, mid, now << 1), query_Lin(mid + 1, R, now << 1 | 1));
}

In void update_path(int x, int y, int d)
{
	while(top[x] ^ top[y])
	{
		if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);
		if(son[x]) update_Sin(1, dfsx[son[x]], -d);
		update_Sin(1, dfsx[top[x]], d);
		update_Lin(dfsx[top[x]], dfsx[x], 1, d);
		x = fa[top[x]];
	}
	if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	if(son[x]) update_Sin(1, dfsx[son[x]], -d);
	update_Sin(1, dfsx[y], d);
	update_Lin(dfsx[y], dfsx[x], 1, d);
}
In int query_path(int x, int y)
{
	int ret = 0;
	while(top[x] ^ top[y])
	{
		if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);
		int tp = query_Sin(1, dfsx[top[x]]);
		if(x ^ top[x]) tp = GCD(tp, query_Lin(dfsx[top[x]] + 1, dfsx[x], 1));
		ret = ret ? GCD(ret, tp) : tp;
		x = fa[top[x]];
	}
	if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	int tp = query_Sin(1, dfsx[y]);
	if(x ^ y) tp = GCD(tp, query_Lin(dfsx[y] + 1, dfsx[x], 1));
	ret = ret ? GCD(ret, tp) : tp;
	return ret;
}

int main()
{
	Mem(head, -1);
	n = read();
	for(int i = 1; i < n; ++i)
	{
		int x = read() + 1, y = read() + 1;
		addEdge(x, y), addEdge(y, x);
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
	dfs1(1, 0), top[1] = 1, dfs2(1, 0);
	build(1, n, 1);
	m = read();
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		scanf("%s", s); int x = read() + 1, y = read() + 1;
		if(s[0] == 'C')
		{
			int d = read();
			update_path(x, y, d);
		}
		else write(query_path(x, y)), enter;
	}
	return 0;
}