题解-BJOI2019 光线

Problem

loj3093 & x谷

题意概要：给定 \(n\) 块玻璃，每块玻璃有其折射比例与反射比例（折射比例+反射比例 不一定为 \(100\%\)），求从最上头打下一束光，有多少比例的光可以完全穿越 \(n\) 块玻璃

\(n\leq 5\times 10^5\)

Solution

一眼线性高斯消元，但是我懒……物理题当然不要那么麻烦啦

由于考虑到这是物理模型，用物理思想考虑——合并玻璃

仅考虑合并两块玻璃，对于合并后的等价玻璃，需要算出其 从上往下与从下往上的反射透射率 共四个参数。但是我懒……由于不需要知道最上层玻璃 从上往下的反射率 与 从下往上的透射率，所以可以考虑每次合并最顶上的两块玻璃，只需要计算两个参数

从上往下透射率：

考虑到整体透射过去的光就是透射过第二块玻璃的光，而由于一部分光可能在两块玻璃间反射，所以透射过去的光分为无穷多段，但最终的总和是收敛的（设第一块玻璃透射率为 \(a_1\)，反射率为 \(b_1\)，第二块玻璃透射率为 \(a_2\)，反射率为 \(b_2\)）：

• 第一束光：\(a_1a_2\)（直接透过两块玻璃）
• 第二束光：\(a_1a_2b_1b_2\)（在两块玻璃间反射一个来回后透射出去）
• 第三束光：\(a_1a_2(b_1b_2)^2\)（反射两个来回）
• ……

求和为 \(\sum_{i=0}^{+\infty}a_1a_2(b_1b_2)^i=\frac {a_1a_2(1-(b_1b_2)^{+\infty})}{1-b_1b_2}\)

由于 \(b_1b_2<1\)

\[a'=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac {a_1a_2(1-(b_1b_2)^n)}{1-b_1b_2}=\frac {a_1a_2}{1-b_1b_2}
\]

从下往上反射率：

类似于上面的方法：

• 第一束光：\(b_2\)（直接反射）
• 第二束光：\(a_2^2b_1\)（在第一块玻璃反射一次，穿越两次第二块玻璃）
• 第三束光：\(a_2^2b_1^2b_2\)（在中间多一个反射来回）

求和：

\[b'=b_2+\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac {a_2^2b_1(1-(b_1b_2)^n)}{1-b_1b_2}=b_2+\frac {a_2^2b_1}{1-b_1b_2}
\]

从上到下合并所有玻璃后最后一块玻璃的透射率即为答案

Code

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;

inline void read(int&x){
	char c11=getchar();x=0;while(!isdigit(c11))c11=getchar();
	while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();
}

const int p = 1e9+7, inv = 570000004;

inline int qpow(int A,int B) {
	int res = 1;
	while(B) {
		if(B&1) res = (ll)A * res%p;
		A = (ll)A * A%p, B >>= 1;
	} return res;
}

int n, a1, a2, b1, b2, a, b, iv;

int main() {
	read(n);
	read(a1), a1 = (ll)a1 * inv%p;
	read(b1), b1 = (ll)b1 * inv%p;
	while(--n) {
		read(a2), a2 = (ll)a2 * inv%p;
		read(b2), b2 = (ll)b2 * inv%p;
		iv = qpow(p+1 - (ll)b1 * b2%p, p-2);
		a = (ll)a1 * a2%p * iv%p;
		b = (b2 + (ll)a2 * a2%p * b1%p * iv)%p;
		a1 = a, b1 = b;
	}
	printf("%d\n",a1);
	return 0;
}