EM算法(Expectation Maximization Algorithm)

1. 前言

这是本人写的第一篇博客(2013年4月5日发在cnblogs上,现在迁移过来)，是学习李航老师的《统计学习方法》书以及斯坦福机器学习课Andrew Ng的EM算法课后，对EM算法学习的介绍性笔记，如有写得不恰当或错误的地方，请指出，并多多包涵，谢谢。另外本人数学功底不是很好，有些数学公式我会说明的仔细点的，如果数学基础好，可直接略过。

2.基础数学知识

在正式介绍EM算法之前，先介绍推导EM算法用到的数学基础知识，包括凸函数，Jensen不等式。

2.1.凸函数

对于凸函数，凹函数，如果大家学过高等数学，都应该知道，需要注意的是国内教材如同济大学的《高等数学》的这两个概念跟国外刚好相反，为了能更好的区别，本文章把凹凸函数称之为上凸函数，下凸函数，具体定义如下：

上凸函数：函数 f(x) 满足对定义域上任意两个数 a , b 都有 f[(a+b)/2]≥[f(a)+f(b)]/2
下凸函数：函数 f(x) 满足对定义域上任意两个数 a , b 都有 f[(a+b)/2]≤[f(a)+f(b)]/2

更直观的可以看图2.1和2.2：


图2.1. 上凸函数	图2.2. 下凸函数

可以清楚地看到图2.1上凸函数中，f[(a+b)/2]≥[f(a)+f(b)]/2，而且不难发现，如果f(x)是上凸函数，那么 −f(x) 是下凸函数。
当 a≠b 时，f[(a+b)/2]>[f(a)+f(b)]/2 成立，那么称 f(x) 为严格的上凸函数，等号成立的条件当且仅当 a=b,下凸函数与其类似。

2.2.Jensen不等式

有了上述凸函数的定义后，我们就能很清楚的Jensen不等式的含义，它的定义如下：

如果f是上凸函数，X 是随机变量，那么 f(E[X])≥E[f(X)]
特别地，如果f是严格上凸函数，那么 E[f(X)]=f(E[X]) 当且仅当 p(X=E[X])=1，也就是说 X 是常量。

那么很明显 logx 函数是上凸函数，可以利用这个性质。
有了上述的数学基础知识后，我们就可以看具体的EM算法了。

3.EM算法所解决问题的例子

在推导EM算法之前，先引用《统计学习方法》中EM算法的例子：

例1. (三硬币模型)假设有3枚硬币,分别记作 A,B,C 。这些硬币正面出现的概率分别为 π，p 和 q。投币实验如下，先投 A，如果 A 是正面，即 A=1，那么选择投 B；A=0，投 C。最后，如果 B 或者 C 是正面，那么 y=1；是反面，那么 y=0；独立重复 n 次试验 (n=10)，观测结果如下： 1,1,0,1,0,0,1,0,1,1 假设只能观测到投掷硬币的结果，不能观测投掷硬币的过程。问如何估计三硬币正面出现的概率，即 π，p 和 q 的值。

解：设随机变量 y 是观测变量，则投掷一次的概率模型为:

P(y|θ)=πpy(1−p)1−y+(1−π)qy(1−q)1−y

有 n 次观测数据 Y，那么观测数据 Y 的似然函数为:

P(Y|θ)=∏nj=1[πpyj(1−p)1−yj+(1−π)qyj(1−q)1−yj]

那么利用最大似然估计求解模型解，即

θˆ=argmaxθlogP(Y|θ)=argmaxθ∑j=110logP(yj|θ)=argmaxθ∑j=110log[πpyj(1−p)1−yj+(1−π)qyj(1−q)1−yj](1)(2)(3)

这里将概率模型公式和似然函数代入 (1) 式中，可以很轻松地推出 (1)⇒(2)⇒(3)，然后选取 θ(π,p,q)，使得 (3) 式值最大，即最大似然。然后，我们会发现因为 (3) 中右边多项式 + 符号的存在，使得 (3) 直接求偏导等于 θ 或者用梯度下降法都很难求得 θ值。
这部分的难点是因为 (3) 多项式中 + 符号的存在，而这是因为这个三硬币模型中，我们无法得知最后得结果是硬币 B 还是硬币 C抛出的这个隐藏参数。那么我们把这个latent 随机变量加入到 log-likelihood 函数中，得

l(θ)=∑j=110log∑i=12P(yj,zi∣θ)=∑j=110log∑i=12Qj(zi)P(yj,zi∣θ)Qj(zi)≥∑j=110∑i=12Qj(zi)logP(yj,zi∣θ)Qj(zi)(4)(5)(6)

略看一下，好像很复杂，其实很简单，首先是公式 (4)，这里将 zi 做为隐藏变量，当 z1 为结果由硬币 B 抛出，z2 为结果由硬币C抛出，不难发现:

∑i=12P(yj,zi∣θ)=P(yj∣θ)=πpyj(1−p)1−yj+πqyj(1−q)1−yj

接下来公式说明 (4)⇒(5) (其中 (5) 中 Q(z) 表示的是关于 z 的某种分布，∑iQj(zi)=1，很直接，在 P 的分子分母同乘以 Q(zi)。最后是 (5)⇒(6)，到了这里终于用到了第二节介绍的Jensen不等式，数学好的人可以很快发现，∑2i=1Qj(zi)P(yj,zi|θ)Qj(zi) 就是 [P(yj,zi|θ)Qj(zi)] 的期望值（如果不懂，可google期望公式并理解），且log是上凸函数，所以就可以利用Jensen不等式得出这个结论。因为我们要让log似然函数 l(θ)最大，那么这里就要使等号成立。根据Jensen不等式可得，要使等号成立，则要使 P(yj,zi|θ)Qj(zi)=c 成立。
再因为∑iQj(zi)=1，所以得∑iP(yj,zi|θ)=c，c 为常数，那么(这里感谢网友@无影随想指出错误)

Q(zi)=P(yj,zi∣θ)/∑iP(yj,zi∣θ)=P(yj,zi)/P(yj∣θ)=P(zi∣yj,θ)

这里可以发现

Qj(z1)=πpyj(1−p)1−yjπpyj(1−p)1−yj+(1−π)qyj(1−q)1−yjQj(z2)=(1−π)qyj(1−q)1−yjπpyj(1−p)1−yj+(1−π)qyj(1−q)1−yj

OK,到这里，可以发现公式 (6) 中右边多项式已经不含有“+”符号了，如果知道 Q(z) 的所有值，那么可以容易地进行最大似然估计计算，但是 Q 的计算需要知道 θ 的值。这样的话，我们是不是可以先对θ进行人为的初始化 θ0，然后计算出 Q 的所有值 Q1(在 θ0 固定的情况下，可在 Q1 取到公式 (6) 的极大值)，然后在对公式 (6) 最大似然估计，得出新的 θ1 值（在固定Q1的情况下，取到公式 (6) 的极大值），这样又可以计算新的 Q 值 Q1,然后依次迭代下去。答案当然是可以。因为 Q1 是在 θ0 的情况下产生的，可以调节公式 (6) 中 θ 值，使公式 (6) 的值再次变大，而 θ 值变了之后有需要调节 Q 使 (6) 等号成立，结果又变大，直到收敛（单调有界必收敛），如果到现在还不是很清楚，具体清晰更广义的证明可以见下部分EM算法说明。
另外对公式 (6) 进行求偏导等于 θ，求最大值，大家可以自己练习试试，应该很简单的，这里不做过多陈述。
在《统计学习方法》书中，进行两组具体值的计算

π0=0.5, p0=0.5, q0=0.5，迭代结果为 π=0.5, p=0.6, q=0.5

π0=0.4, p0=0.6, q0=0.7，迭代结果为 π=0.4064, p=0.5368, q=0.6432

两组值的最后结果不相同，这说明EM算法对初始值敏感，选择不同的初值可能会有不同的结果，只能保证参数估计收敛到稳定点。因此实际应用中常用的办法就是选取多组初始值进行迭代计算，然后取结果最好的值。

在进行下部分内容之前，还需说明下一个东西。在上面的举例说明后，其实可以发现上述的解决方法跟一个简单的聚类方法很像，没错，它就是K-means聚类。K-means算法先假定k个中心，然后进行最短距离聚类，之后根据聚类结果重新计算各个聚类的中心点，一次迭代，是不是很像，而且K-means也是初始值敏感，因此其实K-means算法也包含了EM算法思想，只是这边EM算法中用P概率计算，而K-means直接用最短距离计算。所以EM算法可以用于无监督学习。在下一篇文章，我准备写下典型的用EM算法的例子，高斯混合模型(GMM,Gaussian Mixture Model)。

4.EM算法

4.1.模型说明

考虑一个参数估计问题，现有 y1,y2,…,yn 共 n 个训练样本，需有多个参数 π 去拟合数据，那么这个 log 似然函数是：

l(θ)=∑j=1nlogP(yj|θ)

可能因为 θ 中多个参数的某种关系（如上述例子中以及高斯混合模型中的3类参数），导致上面的 log 似然函数无法直接或者用梯度下降法求出最大值时的 θ 值，那么这时我们需要加入一个隐藏变量 z，以达到简化 l(θ),迭代求解 l(θ) 极大似然估计的目的。

4.2.EM算法推导

这小节会对EM算法进行具体推导，许多跟上面例子的解法推导是相同的，如果已经懂了，可以加速阅读。首先跟“三硬币模型”一样，加入隐变量 z 后，假设 Q(z) 是关于隐变量 z 的某种分布，那么有如下公式：

l(θ)=∑j=1nlog∑i=1P(yj,zi∣θ)=∑j=1nlog∑i=1Q(zi)P(yj,zi∣θ)Q(zi)≥∑j=1n∑i=1Q(zi)logP(yj,zi∣θ)Q(zi)(7)(8)(9)

公式 (7) 是加入隐变量，(7)⇒(8) 是在基础上分子分母同乘以，(8)⇒(9) 用到Jensen不等式（跟“三硬币模型”一样），等号成立的条件是，c 是常数。再因为，则有如下 Q 的推导：

∑iP(yj,zi∣θ)/c=1⇒∑iP(yj,zi∣θ)=c⇒Qj(zi)=P(yj,zi∣θ)/∑iP(yj,zi∣θ)=P(yj,zi∣θ)/P(yj∣θ)=P(zi∣yj,θ)

再一次重复说明，要使 (9) 等式成立，则 Qj(zi) 为 yj, z的后验概率。算出 Qj(zi) 后对 (9) 就可以进行求偏导，以剃度下降法求得 θ 值，那么又可以计算新 Qj(zi) 的值，依次迭代，EM算法就实现了。

EM 算法(1)
选取初始值 θ0 初始化 θ，t=0
Repeat {
E步：

Qtj(zi)=P(yj,zi∣θt)/∑iP(yj,zi∣θt)=P(yj,zi∣θt)/P(yj∣θt)=P(zi∣yj,θt)

M步：

θt+1t=argmaxθ∑j=1n∑iQtj(zi)logP(yj,zi∣θ)Qtj(zi)=t+1

}直到收敛

4.3.EM算法收敛性证明

当 θ 取到 θt 值时，求得

θt+1=argmaxθ∑j=1n∑iQtj(zi)logP(yj,zi∣θ)Qtj(zi)

那么可得如下不等式：

l(θt+1)=∑j=1nlog∑iQtj(zi)P(yj,zi∣θt+1)Qtj(zi)≥∑j=1n∑iQtj(zi)logP(yj,zi∣θt+1)Qtj(zi)≥∑j=1n∑iQtj(zi)logP(yj,zi∣θt)Qtj(zi)(10)(11)(12)

(10)⇒(11)是因为Jensen不等式，因为等号成立的条件是 θ 为 θt 的时候得到的，而现在中的 θ 值为 θt+1，所以等号不一定成立，除非 θt+1=θt，
(11)⇒(12) 是因为 θt+1 已经使得 ∑nj=1∑iQtj(zi)logP(yj,zi∣θt)Qtj(zi) 取得最大值，那必然不会小于 (12) 式。
所以 l(θ) 在迭代下是单调递增的，且很容易看出 l(θ) 是有上界的 (单调有界收敛) ，则EM算法收敛性得证。

4.4. EM算法E步说明

上述EM算法描述，主要是参考Andrew NG教授的讲义，如果看过李航老师的《统计方法学》，会发现里面的证明以及描述表明上有些许不同，Andrew NG教授的讲义的说明（如上述）将隐藏变量的作用更好的体现出来，更直观，证明也更简单，而《统计方法学》中则将迭代之间θ的变化罗列的更为明确，也更加准确的描述了EM算法字面上的意思：每次迭代包含两步：E步，求期望；M步，求极大化。下面列出《统计方法学》书中的EM算法，与上述略有不同：

EM算法 (1)：
选取初始值θ0初始化θ，t=0
Repeat {
E步：

H(θ,θt)=Ez[logP(Y,Z∣θ)∣Y,θt]=∑zP(Z∣Y,θt)logP(Y,Z∣θ)(13)

M步：

θt+1=argmaxθH(θ,θt)

}直到收敛

(???) 式中，Y=y1,y2,…,ym, Z=z1,z2,…,zm,不难看出将 (9) 式中两个 ∑ 对换，就可以得出 (???) 式，而 (???) 式即是关于分布 z 的一个期望值，而需要求这个期望公式，那么要求出所有的EM算法 (1) 中E步的值，所以两个表明看起来不同的EM算法描述其实是一样的。

5.小结

EM算法的基本思路就已经理清，它计算是含有隐含变量的概率模型参数估计，能使用在一些无监督的聚类方法上。在EM算法总结提出以前就有该算法思想的方法提出，例如HMM中用的Baum-Welch算法就是。
在EM算法的推导过程中，最精妙的一点就是 (10) 式中的分子分母同乘以隐变量的一个分布，而套上了Jensen不等式，是EM算法顺利的形成。

6.主要参考文献

[1]:Rabiner L, Juang B. An introduction to hidden markov Models. IEEE ASSP Magazine, January 1986，EM算法原文

[2]:http://v.163.com/special/opencourse/machinelearning.html，Andrew NG教授的公开课中的EM视频

[3]:http://cs229.stanford.edu/materials.html, Andrew NG教授的讲义，非常强大，每一篇都写的非常精炼，易懂

[4]:http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006936.html, 一个将Andrew NG教授的公开课以及讲义理解非常好的博客，并且我许多都是参考他的

[5]:http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/8170378, 一个浙大研一的女生写的，里面的博客内容非常强大，csdn排名前300，ps:本科就开博客，唉，我的大学四年本科就给了游戏，玩，惭愧哈，导致现在啥都不懂。