【BZOJ 3326】[Scoi2013]数数 数位dp+矩阵乘法优化

挺好的数位dp……
先说一下我个人的做法:
经过观察,发现这题按照以往的思路从后往前递增,不怎么好推,然后我就大胆猜想,从前往后推,发现很好推啊,维护四个变量,从开始位置到现在有了i个数
f[i]:所有数的所有未包含最后一位的子串的和
s[i]:所有数的所有后缀子串的和
c[i]:所有数的所有后缀子串的个数
n[i]:所有数共有多少个
他们的转移依次是(k为进制数)
f[i]=f[i-1]*k+s[i-1]*k
s[i]=s[i-1]*k*k+c[i-1]*k*(k-1)/2+n[i-1]*k*(k-1)/2
c[i]=c[i-1]*k+n[i-1]*k
n[i]=n[i-1]*k
我们发现对于最高位低于上界的数,我们可以在确定最高位上是1~9之后用上面的转移一遍O(n)dp算出来.如果最高位等于上界的话,我们的转移不太一样,但是也只不过是把某些k改为了这一位的上届,而且如果本位未达到上届,往后转移还是老样子,然而每次都要从前往后走一遍,会T,不过,这很明显是个可以用矩阵乘法优化的dp,因为他的转移方式每次都一样,所以我们就可以加速了,然而这是4*4的矩阵再加上一个log,吃不消啊,但是我们可以预处理转移i(1<=i<=max(n,m))次的矩阵,这样就可以做到O(4^3*n)了,又因为这个矩阵是个上三角矩阵,所以我们加一些矩阵乘法时的优化就可以有有着一个10左右常数的O(n)的做法了,我们解决了这道题!!!
现在说一下别人的做法:
A掉之后,去网上看了看别人的题解,发现从后往前递增并不是不可以,而且根本就没有人从前往后推,更没有任何人的做法跟矩阵乘法有半点关系……
他们就是从后往前递增,推出来一个关于k的次幂的式子,通过预处理k的次幂,加上对于上界的处理来递推……
他们的做法基本上都是O(n)的,但是跑得和我差不多……

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
char xB[(<<)+],*xS,*xT;
#define gtc (xS==xT&&(xT=(xS=xB)+fread(xB,1,1<<15,stdin),xS==xT)?0:*xS++)
template <typename _t>
inline void read(_t &x){
  register char ch=gtc;bool ud=false;
  for(x=;ch<''||ch>'';ch=gtc)if(ch=='-')ud=true;
  for(;ch>=''&&ch<='';x=(x<<)+(x<<)+ch-'',ch=gtc);
  if(ud)x=-x;
}
typedef long long LL;
const int P=;
const int N=;
int a[][],b[],s[N][][],temp_a[][],temp_b[],c[],d[];
inline void get(int x[][],int y){
  memset(temp_a,,sizeof(a));
  register int i,j,k;
  for(i=;i<;++i)
    for(j=;j<;++j)
      if(a[i][j])
        for(k=;k<;++k)
          if(x[j][k])
            temp_a[i][k]=(temp_a[i][k]+(LL)x[j][k]*a[i][j])%P;
  memcpy(s[y],temp_a,sizeof(s[y]));
}
inline void run(int x[][]){
  memset(temp_b,,sizeof(temp_b));
  register int i,j;
  for(i=;i<;++i)
    for(j=;j<;++j)
      if(x[i][j])
        temp_b[i]=(temp_b[i]+(LL)x[i][j]*d[j])%P;
  memcpy(c,temp_b,sizeof(c));
}
int bit,digit[N],k,n,m,len;
inline int calc(){
  int ans=,i;
  d[]=,d[]=(LL)k*(k-)/%P,d[]=k-,d[]=k-;
  for(i=;i<bit;++i)
    run(s[i-]),ans=(ans+c[]+c[])%P;
  memset(b,,sizeof(b)),b[]=;
  for(i=bit;i>;--i){
    d[]=((LL)b[]*(digit[i]-(i==bit))%P);
    d[]=((LL)b[]*(digit[i]-(i==bit))+d[])%P;
    d[]=((LL)k*b[]%P*(digit[i]-(i==bit))+(LL)b[]*((LL)digit[i]*(digit[i]-)/%P)+(LL)b[]*((LL)digit[i]*(digit[i]-)/%P))%P;
    d[]=((LL)b[]*(digit[i]-(i==bit))+(LL)b[]*(digit[i]-(i==bit)))%P;
    run(s[i-]);
    ans=(ans+c[]+c[])%P;
    b[]=(b[]+b[])%P;
    b[]=((LL)k*b[]+(LL)(b[]+b[])*digit[i])%P;
    ++b[];
  }
  return (ans+b[]+b[])%P;
}
int main(){
  read(k);int i,j,ans=;
  a[][]=k,a[][]=k;
  a[][]=(LL)k*k%P,a[][]=((LL)k*(k-)/)%P,a[][]=((LL)k*(k-)/)%P;
  a[][]=k,a[][]=k;
  a[][]=k;
  s[][][]=s[][][]=s[][][]=s[][][]=;
  for(read(n),i=n;i>;--i)read(digit[i]);
  read(m),len=std::max(n,m);
  for(i=;i<=len;++i)get(s[i-],i);
  if(n==)ans=(ans-(LL)digit[]*(digit[]-)/%P+P)%P;
  else{
    for(--digit[],i=;i<=n;++i)
      if(digit[i]<)digit[i]+=k,--digit[i+];
      else break;
    while(digit[n]==)--n;
    bit=n,ans=(ans-calc()+P)%P;
  }
  for(i=m;i>;--i)read(digit[i]);
  if(m==)ans=(ans+(LL)digit[]*(digit[]+)/%P)%P;
  else bit=m,ans=(ans+calc())%P;
  printf("%d\n",ans);
  return ;
}