频繁项集挖掘之apriori和fp-growth

Apriori和fp-growth是频繁项集(frequent itemset mining)挖掘中的两个经典算法，虽然都是十几年前的，但是理解这两个算法对数据挖掘和学习算法都有很大好处。在理解这两个算法之前，应该先了解频繁项集挖掘是做什么用的。

频繁项集挖掘是关联规则挖掘中的首要的子任务。关联规则挖掘是要找出一个数据集上，满足一定条件的项集。这些项的集合能构成 形如蕴含式"A=>B"这样的“规则”。这个"=>"符号是通过一些条件来定义的，如果没有条件那当然所有的项组合都能形成这样的关系。频繁程度就是一种要求，也就是AB共同次数出现了超过阈值。 A和B能否形成"=>"规则， 就要根据定义来算，那首先就得把A、B需要的条件挖出来，也就是频繁项集挖掘要做的。

关联规则定义比较容易能搜到，频繁项集挖掘简单的说就是：给定一个项列表list = {A,B,C,...}，一个数据集D的每条记录都是list 的子集，要找出数据集中频繁共同出现次数超过阈值t，也就是支持度，的所有组合。

这个挖掘其实不好做，因为结果可能是list 中所有项的组合，有2^|list|个可能，搜索空间是个组合爆炸的空间。看下图，先别看红字红线：

要弄好这件事不仅需要有效减小搜索空间，而且对每个可能的搜索都必须快速完成。所以频繁项集挖掘在算法实践和编码实现上就要有非常强的技巧。我们就来深入学习apriori和fp-growth中的搜索方式和技巧。这两个算法很容易找到完整的步骤，这里会更注重里面一些精彩之处，但是可能书写不会那么规范，建议和完整算法对照来读。

先来看看apriori。Apriori采用广度优先的搜索方式，缩小搜索空间用到了一个称为apriori的性质。Apriori性质是这么说的：频繁项集的所有非空子集必然也是频繁的。这是很显然的，比如 同时包含项AB的记录条数肯定比只包含A的记录少。这条性质反过来也可以这么说：如果一个项集是非频繁的，那么它的超集必然也是非频繁的。

算法过程如下：

输入:数据集D，支持度minsup

输出:满足支持度的所有项集的集合L

L1 = 发现1-项集(D);

for (k=2;Lk-1 ≠Φ ;k++) {

Ck = 连接剪枝生成(Lk-1, minsup)

扫描D，为Ck中每个项集c 统计 c.count

保留Lk ={c ∈ Ck|c.count≥min_sup}

L = L ∪ Lk

}

Return L

其中算法精华在于 连接剪枝生成(Lk-1, minsup) 这一步， 包含连接步和剪枝步两个动作：

1. 连接步：长度k-1的项连接成长度k的项；具体就是对两个k-1长的项L1和L2，必须满足前k-2个项都相同才能连接，最后把L1和L2剩下的最后一项加起来，形成k的长度的项。

2. 剪枝步：k项连接完成后，检查其所有k-1子集是否是频繁的，如果是，才保留作为候选项。

可以通过一张截图来演示一下apriori的过程：

对应第一张图，连接步是从第k层的项集，向下扩展一层的候选项集，剪枝步能够通过apriori性质过滤掉那些肯定非频繁的项集。

Apriori的框架其实很小，但是可以想象得到主要的两个步骤： 连接+剪枝（也就是候选集生成），以及，候选集统计是很耗费时间的。

剪枝步也需要对每个k-候选项集的k-1子集都进行一次检测，也很耗费时间；统计频繁次数是必须的，因此需要扫描数据库，经历I/O。那么有必要剪枝，直接统计会不会更好呢，虽然没有试验过，但我估计还是剪枝以后减少候选集的统计更划算。而这两个耗时的步骤在实现上如果能使用到技巧，对算法时间影响最直接。比如剪枝步中k-1候选项集需要逐一向已有的k-1频繁项集查询，这用什么数据结构最好？又如扫描数据库的时候是否能过进行一些压缩，相同的记录进行合并减少遍历次数，以及过滤掉对统计没用的记录？

面对apriori的问题，感觉Fp-growth突然间就冒出来了，它是一个挖掘方式和apriori完全不一样的算法，直接看可能不那么像apriori直观，因为算法一开始就介绍了它采用的数据结构和挖掘方式。所以我们先对比下apriori和fp-growth的差异在哪，再介绍它的算法。

简单的说apriori是先产生一批候选项集，再通过原数据集去过滤非频繁项集：先找A、B、C，检查一下通过了，再找AB、AC、AB，检查又通过了，再到ABC... 这样的广度优先的方式。而fp-growth是先从数据集中找频繁的项，再从包含这个频繁项的子数据集中找其他的频繁项，把它们俩连起来也肯定是频繁的：先找A，再在找包含A的子数据库里，找到B，就得到AB是频繁，再再包含AB的子数据库里，找到C，ABC就是频繁了。

在了解了fp-growth的大致思路以后，我们就能介绍它采用的数据结构和算法了。

首先fp-growth采用了一个叫fp-tree 的数据结构去压缩存储数据集，放到内存里，这样以后过问原数据集的事就不必经过IO了。

Fp-tree主要是一种前缀树，和字典树（trie）接近，并且节点把项的次数也记录下了。字符的顺序有所不同，字典树用的是字母表顺序，fp-tree (frequent pattern tree)用的是字母表的频率降序，这样的好处是出现次数多的项作为共享前缀的概率也大，fp-tree的压缩率就高（后面还会提到），根据apriori性质，非频繁的项没用，因此fp-tree上可以没有它们。

根据前面提到fp-growth步骤，需要找数据库上包含某个项的子数据库，不能从树根开始搜索，因此为了方便，需要把fp-tree中所有枝干、叶子上相同的项全串一起，这样项从一个起点开始，向树根遍历，就能得到包含这个项的子数据库了。这些起点和串起相同节点的链就是fp-tree的另一个部分：头表和兄弟链。头表包含树上所有的单项，并是兄弟链的起点，那么fp-tree不仅完整记录了数据库里所需的信息，还能找到对任一项找到包含了它的子数据库。

有了fp-tree，挖掘频繁项集就变得直观了。首先是压缩数据库，过滤非频繁项，得到一棵fp-tree 1号，对于一个项，比如A，通过兄弟链，遍历树找出 包含A的子树(库)，又称A的条件模式树(库)，英文原文叫condition pattern tree(base)。然后把这个子库当做一个新的数据库2号，过滤2号库非频繁项，建立一个小点的fp-tree 2号，那么那个A与这个2号树里的所有项，连起来肯定也是频繁的；比如有B，同理把B的条件树找出，也建立个fp-tree 3号，就能得到AB和3号树上的项连起来也肯定是频繁的。这个过程递归完成，建立不出条件子树递归就跳出去。

算法包含两个部分：

1. 是建立fp-tree：扫描一遍数据库，得到每个项的支持度，排序并过滤非频繁项；再扫描一次数据库，每条记录按顺序排序，添加到fp-tree上。

2. 调用算法FP_growth(FP-tree, null)。

Function Fp_growth(FP-tree, a){

if(fp-tree 是单条路径){

对路径上的组合b， 都连接a，输出b∪ a

}else{

For each 项ai in 头表{

输出一个模式b= ai∪ a，其支持度 support =ai.support

构造b的条件模式库，然后构造b的条件模式树 Treeb;

If (Treeb 不为空){

调用算法FP_growth(Treeb,b )

}

}

}

FP_growth是个递归算法，期间需要反复遍历树和构建fp-tree。fp-growth中判断单路径部分可以不要，最后实际结果其实是和下面部分是一样的，但是直接计算单路径产生所有组合会便捷很多。另外一点，fp-tree要按支持度降序的顺序的好处有几点？前面说了可以提高共享前缀的可能，提高压缩率，树小了，遍历的步数还能减小，寻找最优压缩的顺序是个NP难问题，因此选这个办法能有个比较好的压缩率足够了。

fp-growth虽然号称不产生候选集，但是实际上候选集产生已经在寻找条件子库的时候隐隐产生了，剪掉非频繁候选项的时候是通过建树步骤中的第一小步完成的。

fp-growth在实现上也可以有很多技巧，比如寻找条件子树的时候，同一条路径会被遍历很多次，如何有效避免（后来han自己提出，遇到扫把型的fp-tree，即上面是单路径、下面分叉的，可以把单路径所有的组合分别连接到下面的部分挖掘结果上输出，那就不用遍历上面的单路径了） 另外树上节点用什么数据结构保存指向子孙节点的指针，能同时兼顾查询时间和空间？

最后我们总结一下apriori和fp-growth之间的联系和差异。

初读fp-growth算法，估计都感觉不到它和apriori有什么关系，但我个人猜测fp-growth是从apriori的统计候选集太耗时的那里 改良开始的，希望实现候选项集的更快速的计算支持度，最后就彻底的改变的搜索频繁项集的方式。我觉得两个算法的最根本的差异在于apriori是以搜索项集组合的空间作为基础，通过数据库来对照。而fp-growth是以数据库为基础，在里面寻找项集是否频繁，表现为搜索方式一个是广度优先一个是深度优先。。

apriori的那剪枝步和统计支持度在fp-growth上就是不断的建fp-tree和遍历。而前者的统计需要经过的IO，后者已经压缩到内存了；但fp-growth不是在所有数据集上都比apriori强，比如在稀疏的数据集上，fp-tree每个节点可能包含非常多子孙，因此保存子孙节点的指针也是很大开销，fp-tree本来就是通过压缩使得数据集能被内存容纳，结果导致最后fp-tree起不到压缩效果适得其反。优化实现的apriori在稀疏数据集上也往往比fp-growth要快。

这里fp-growth在大部分地方是完胜了apriori，后面很多改进都是基于深度优先的思想，并且更注重实现上的技巧。现在我们也没必要去费太多精力去改进这两个算法了，因为频繁项集挖掘是个组合爆炸的时间复杂度。在2003 2004年ICDM举办过两个workshop就是专门比谁实现的频繁项集挖掘最好（搜"FIMI 03"，网站里有很多的源码）。在这里想多提一点，数据挖掘中，没有算法能在所有数据集上PK掉其他算法。因此我们应该了解一种任务的多种算法，看看它们为什么和如何在不同的数据集上体现出自己的优势，这样，通过比较我们不仅能更好的理解和掌握它们的精华，更能在当我们遇到新的数据集的时候，选取合适算法甚至做出针对性的优化措施。