2016-5-19模拟测试 bzoj3652 bzoj3653 bzoj3654

• T1
  • description
    给定正整数\(n\),定义\(f(x) = \max{y \ \mathrm{xor}\ x}(y<n)\)
    \(x\)在\([0,n)\)随机取值，求\(f(x)\)的期望。
  • solution1
    将\(n-1\)插入一棵trie树，则这条链以及他们左边的链是需要考虑的，找到第一个存在右儿子的点，这棵右子树都是可以达到最大的异或值的，那么考虑向左走的这些链，它们对应的\(y\)，将会在这棵右子树中朝相反的方向走。在这棵中，如果可以向右走，那么这一位左边的数都可以取，否则会有一半的数走不了，我们不妨把所有数的答案都看作是最大的异或值，然后现在应该把它减掉。在可以向右走的时候，左边又有一些链选择了向左走，那么下面再遇到不能走的情况，就不用考虑这些点了，此时把需要考虑的点数除以2即可。
  • solution2
    数位dp，本质也是在trie树上走，把具有相同性质的节点用一个状态表示即可，显然本质不同的节点数量是\(O(\log{n})\)的。
• T2
  • solution
    网上题解很多，我在这之前就看了一篇题解然后写了可持久化线段树。
    其实离线+树状数组就可以解决了。
• T3
  • description
    给你\(n\)个串，每个串可以用任意数量，将它们拼接在一起（不可翻转），问所有结果中最大的回文子串的长度是多少，如果是无穷大输出无穷大。
  • solution
    如果存在一个回文串，那么答案是无穷大。
    否则不存在回文串，那么我们枚举回文中心，对于一个串，如果以这个回文中心的最长回文子串走到了边界上，那么在他左边可以继续拼接，那么可以用\(f(i<n,j<len_i,k=0/1)\)表示当前在第\(i\)个串，在\(j\)这个位置，下次应该往\(k\)这个方向接，枚举下一个接上的串转移即可。
    转移时可以使用记忆化搜索，在这个转移图上发现环则输出INF.