ISAP 简介

刘汝佳的蓝书上已经给出了大部分，先给上完整代码（以草地排水为例）。

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cstdio>
 
 using namespace std;
 #define e edges[i]
 
 const int Maxn=,Maxm=,INF=0x7f7f7f7f;
 int n,m,s,t;
 int d[Maxn],cur[Maxn],num[Maxn],p[Maxn];
 int q[Maxn],ql,qr;
 
 struct Edge{
     int to,cap,flow,next;
     int adv(){return cap-flow;}
 }edges[Maxm*];int tot=,fir[Maxn];
 void AddEdge(int from,int to,int cap){
     edges[++tot]=(Edge){to,cap,,fir[from]};fir[from]=tot;
     edges[++tot]=(Edge){from,,,fir[to]};fir[to]=tot;
 }
 void init(){
     scanf("%d%d",&m,&n);s=;t=n;
     for(int u,v,w,i=;i<=m;i++){
         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
         AddEdge(u,v,w);
     }
 }
 void BFS(){
     for(int i=;i<=n;i++)d[i]=n;//这里最好不要用-1或者0x7fffffff等值，否则在统计num的时候可能会出问题
     q[qr=(ql=)+]=t;d[t]=;
     for(int x;ql<qr;){
         x=q[++ql];
         for(int i=fir[x];i;i=e.next){
             if(!e.adv()&&d[e.to]==n){//注意这里的!e.adv()，也可以写为!e.cap表示只走反向边，如果不写应该不会影响正确性，只会影响效率
                 d[e.to]=d[x]+;
                 q[++qr]=e.to;
             }
         }
     }
 }
 int Augment(){
     int a=INF;
     for(int x=t;x!=s;x=edges[p[x]^].to){
         a=min(a,edges[p[x]].adv());
     }
     for(int x=t;x!=s;x=edges[p[x]^].to){
         edges[p[x]].flow+=a;
         edges[p[x]^].flow-=a;
     }
     return a;
 }
 int Maxflow(){
     memcpy(cur,fir,sizeof cur);
     BFS();
     int flow=;
     for(int i=;i<=n;i++)num[d[i]]++;//如果d初始为-1等，访问d[-1],d[0x7fffffff]可能会导致未知错误
     for(int x=s;d[s]<n;){
         if(x==t){
             flow+=Augment();
             x=s;
         }
         int ok=;
         for(int&i=cur[x];i;i=e.next){
             if(e.adv()&&d[e.to]+==d[x]){
                 p[x=e.to]=i;
                 ok=;
                 break;
             }
         }
         if(!ok){
             int M=n;
             cur[x]=fir[x];
             for(int i=cur[x];i;i=e.next){
                 if(e.adv())M=min(M,d[e.to]+);
             }
             if(!--num[d[x]])break;
             num[d[x]=M]++;
             if(x!=s)x=edges[p[x]^].to;
         }
     }
     return flow;
 }
 int main(){
     freopen("input.txt","r",stdin);
     freopen("","w",stdout);
 
     init();
     cout<<Maxflow();
 
     return ;
 }

原始EK的效率浪费在每次都要一遍BFS，而Dinic选择多路增广来优化效率，ISAP则还是单路增广，但是只用做一次BFS。

这里的BFS是反向的，表示到汇点的距离（当然正向也没什么问题），当我们流完一条增广路，有些点的d值可能会改变，这时我们要修改这些点的d值，把他设为min{d[v]+1,(u,v)没有满流}(u是这个点)，这样的正确性是显然的。然后我们只需要每次只走距离相差为1的点就行了QuQ.

还有就是退出条件，当d[s]>=n时，显然不存在增广路了，因为每走一个点，到汇点的距离会-1,这样假设能走到汇点，那么d[t]>=1,是矛盾的。

还有，如果某个d值没有任何一个点是，那么就会出现断层，此时显然也走不到汇点，这就是所谓的gap优化？

还有个当前弧优化，就是用cur来记录当前走到哪条边了，下次不走以前的了，接着往下走。