4517: [Sdoi2016]排列计数

Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Solution

答案是:\(C(n,m)*D(n-m)\)

\(D(n)\) 是长度为\(n\)的错排的方案数

\(D(n)=n!*(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+(-1)^n\frac{1}{n!})\)

或者 \(D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))\)

递推求出来即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000005,mod=1e9+7;
int Fac[N],D[N],T,inv[N],n,m,Inv[N];
inline int C(int a,int b){return 1ll*Fac[a]*Inv[b]%mod*Inv[a-b]%mod;}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  scanf("%d",&T);
  Fac[0]=D[0]=Fac[1]=inv[0]=inv[1]=Inv[0]=Inv[1]=1;
  for(int i=2;i<N;i++){
	  Fac[i]=1ll*Fac[i-1]*i%mod;
	  inv[i]=(-1ll*(mod/i)*inv[mod%i]%mod+mod)%mod;
	  Inv[i]=1ll*Inv[i-1]*inv[i]%mod;
	  D[i]=(D[i-1]+(i&1?-1:1)*Inv[i])%mod;
	  if(D[i]<0)D[i]+=mod;
  }
  for(int i=0;i<N;i++)D[i]=1ll*D[i]*Fac[i]%mod;
  while(T--){
	  scanf("%d%d",&n,&m);
	  printf("%lld\n",1ll*D[n-m]*C(n,m)%mod);
  }
  return 0;
}