高次同余方程 $BSGS$

第一篇\(Blog\)...

还是决定把\(luogu\)上的那篇搬过来了。

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BSGS，又名北上广深

它可以用来求\(a^x \equiv b (mod \ n)\)这个同余方程的一个解，其中\(a,n\)互质。

欧拉定理告诉我们，这里\(a^{\varphi(n)} \equiv 1 (mod \ n)\)

由于\(a^0 \equiv 1 (mod \ n)\)，所以这里\(x\)到\(\varphi(n)\)后\(a^x \ mod \ n\)就开始循环了。

所以我们最坏情况就是\(n\)为素数时，从\(0\)到\(n-1\)枚举\(x\)就行了。

这样我们就得到了一个\(O(n)\)复杂度的优秀算法。

然而\(n < 2^{31}\)......

我们考虑让\(x = im - j(0 \le j \le m)\)，即把\(0...n-1\)这\(n\)个数按每块大小为\(m\)分块。

就有

\[a^{im - j} \equiv b (mod \ n)
\]

两边同时乘\(a^j\)得

\[a^{im} \equiv ba^j (mod \ n)
\]

对于等式右边，总共只会有\(m+1\)种不同的\(j\)，我们把\(ba^0,ba^1,...,ba^m\)全塞到一个\(map\)里,\(i\)也只会有\(\lceil \frac{n}{m} \rceil\)种取值，直接暴力。

最后复杂度为\(O(m + \lceil\frac{n}{m} \rceil)\)

取\(m = \lceil \sqrt{n} \rceil\)，就可以做到\(O(\sqrt{n})\)

当然，用\(map\)的话还要乘上一个\(log\)。

其实分块的时候\(j\)取到\(m\)可能会导致有些\(x\)被考虑到两次，但并不影响，而且边界还不怎么需要处理。

贴一下Luogu P3846(板子题)的代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int fpow(int a, int b, int c){
	int ret = 1;
	for (a %= c; b; b>>=1, a = 1ll*a*a % c) if (b&1) ret = 1ll * ret * a % c;
	return ret;
}

int BSGS(int a, int b, int n, int &ret) {
	int m = ceil(sqrt(n));
	map<int,int> h;
	for (int i = 0, tmp = b%n; i <= m; i++, tmp = 1ll*tmp*a%n)
		h[tmp] = i;
	a = fpow(a, m, n);
	for (int tmp = a, i = 1; i <= m; i++, tmp = 1ll*tmp*a%n)
		if (h.count(tmp)) { ret = 1ll*i*m - h[tmp]; return 1; }
	return 0;
}

int main(){
	int a, b, n, flg, ans; scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
	flg = BSGS(a, b, n, ans);
	if (!flg) puts("no solution"); else printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

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还有比较毒瘤的就是如果\(a \equiv 0 (mod \ n)\)的时候，需要特判\(b \not\equiv 0 (mod \ n)\)

因为如果\(a\)是\(n\)的倍数，那怎么乘都是\(0\)...

所以板子在这里：

int BSGS(int a, int b, int n, int &ret) {
	a %= n, b %= n;
	if (a == 0) { if (b == 0) { ret = 0; return 1; } else return 0; }
	int m = ceil(sqrt(n)); map<int,int> h;
	for (int tmp = b%n, i = 0; i <= m; i++, tmp = 1ll*tmp*a % n) h[tmp] = i;
	a = fpow(a, m, n);
	for (int tmp = a%n, i = 1; i <= m; i++, tmp = 1ll*tmp*a % n)
		if (h.count(tmp)) { ret = 1ll*i*m - h[tmp]; return 1; }
	return 0;
}

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\(ExBSGS\)的话。。。改天学吧 感觉也没什么用