【区间DP】低价回文

标签(空格分隔): 区间DP 回文词


【题目描述】

追踪每头奶牛的去向是一件棘手的任务,为此农夫约翰安装了一套自动系统。他在每头牛身上安装了一个电子身份标签,当奶牛通过扫描器的时候,系统可以读取奶牛的身份信息。目前,每个身份都是由一个字符串组成的,长度为M (1≤M≤2000),所有的字符都取自小写的罗马字母。

奶牛们都是顽皮的动物,有时她们会在通过扫描器的时候倒着走,这样一个原来身份为abcb的奶牛就可能有两个不同的身份了(abcb和bcba),而如果身份是abcba的话就不会有这个问题了。

约翰想改变奶牛们的身份,使他们不管怎么走读起来都一样。比如说,abcb可以在最后加个a,变成回文abcba;也可以在前面加上bcb,变成回文bcbabcb;或者去除字母a,保留的bcb也是一条回文。总之,约翰可以在任意位置删除或插入一些字符使原字符串变成回文。

不巧的是,身份标签是电子做的,每增加或删除一个字母都要付出相应的费用(0≤代价≤10000)。给定一头奶牛的身份标签和增加或删除相关字母的费用,找出把原来字符串变成回文的最小费用。注意空字符串也是回文。

输入格式

第一行:两个用空格分开的整数:N和M 第二行:一个长度恰好为M的字符串,代表初始的身份标签 第三行到第N+2行:每行为一个用空格分开的三元组:其中包括一个字符和两个整数,分别表示增加或删除这个字符的费用

输出格式

第一行:只有一个整数,表示改造这个身份标签的最小费用

样例

样例输入

3 4

abcb

a 1000 1100

b 350 700

c 200 800

样例输出

900

数据范围与提示

如果在最后插入一个a,得到abcba,代价为1000;如果删除第一个a,得到bcb,代价为1100;如果在字符串的开头插入bcb,代价为350+200+350=900,这才是最优的做法

【思路】

这道题很恶心,不愧是学校题库的最后一题。线型DP和区间DP都是以回文词结尾,但是这两道思路完全不同,难度可想而知。

对于一块新区间,要想保证区间中的元素是回文词,那就必须保证首元素和尾元素相同。如果相同,那么f[i][j]就能直接从f[i-1][j-1]转移过来,而且不用代价。如果不同,我们可以只处理首元素和尾元素中的一个。处理首元素,我们可以从f[i+1][j]转移过来,然后要么删除首元素,要么在尾端插入一个首元素。处理尾元素,我们可以从f[i][j-1]转移过来,同前。

【代码】

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5,INF=0x3f3f3f3f,maxe=2e3+5;
int n,m,f[maxe][maxe],low[maxn],ans,del[maxn],add[maxn];
inline int read(){
int s=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
return s*w;
}
int main(){
m=read(),n=read();
char a[maxn];
cin>>a+1;
for(int i=1;i<=m;i++){
char x;
cin>>x;
cin>>add[x]>>del[x];
}//还是我没用快读时写的
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=0;i<=n+1;i++)f[i][i]=0;//初始化
for(int d=2;d<=n;d++){
for(int i=1,j;(j=i+d-1)<=n;i++){
if(a[i]==a[j]){//相等
if(i==j-1)f[i][j]=0;//亲测必须加
f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j-1]);
}
else f[i][j]=min(f[i+1][j]+min(del[a[i]],add[a[i]]),f[i][j-1]+min(del[a[j]],add[a[j]]));//不相等,要么在对a[i]删除或插入,要么对a[j]删除或插入
}
}
cout<<f[1][n];
return 0;
}

嘤嘤嘤 嘤嘤嘤 嘤嘤嘤嘤嘤

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