Marching squares & Marching cubes

提要

Marching squares 主要是用于从一个地图（用二维数组表示）生成轮廓的算法。Marching cubes则相应的是在空间生成网格的方法。最常见的应用就是天气预报中气压图的生成。还经常使用于随机地形的生成。

Marching squares

先说算法步骤。

(1) 输入是一个Scalar grid，它是一张二维的表。

这张表能够从一张二维图像生成。也能够从高度图生成等等。

每一个顶点相应一个Scalar值。

(2) 接下来要做的就是将顶点值和与一个标准值 σ 相减，得到一张 +/- grid。这里令 σ  = 5。得到的表例如以下：

当中被标黑的点叫做Positive点。没有被标黑的叫做Negative点。

(3)接下来是轮廓生成。

grid中相邻的四个顶点就是一个cell，对于每一个cell，依据顶点的positive和negative，一共同拥有2^4 = 16种情况。

这16中情况相应于轮廓线的绘制也有16中情况。

这里在每一个cell的每条边都插入了Midpoint。

通过连接cell的中点。就能够绘制轮廓了。

将第二步生成的 +/- grid生成轮廓线得到结果例如以下

(4) 通过插值修正轮廓

这里要做的修正主要是通过线性差值将轮廓线绘制得更加精确一些。如今的轮廓线经过的都是cell的midpoint，实际上要经过的是 σ 所在的位置，这个位置通过线性差值就能够取得。终于得到的结果例如以下

算法的流程归纳例如以下

算法的伪代码例如以下：

2D Ambiguity

对于第8和第12种cell，有两种生成轮廓的方式，这样就会产生随机性。

相同的两种分布。会出现两种轮廓

可是，这两种情况并不能说是error。它还是符合轮廓的特性。

Marching cubes

Marching cubes事实上就是将算法扩展到三围空间。cell变成了cube。

相比于squar划分的16种方法，cube有2^8 = 256 种情况，可是能够简化为以下的22种情况，另外的能够通过旋转来得到。

这个算法经常使用于生成一些医学图像。

另一个非常有趣的东西叫做Metaballs，用的也是这个算法。

參考

Squares Made for Marching - http://blog.project-retrograde.com/2013/05/marching-squares/

Marching squares Wiki

Marching Squares, partitioning space - http://catlikecoding.com/unity/tutorials/marching-squares/

Metaballs and Marching Squares - http://jamie-wong.com/2014/08/19/metaballs-and-marching-squares/

The Marching cube - http://users.polytech.unice.fr/~lingrand/MarchingCubes/algo.html#msAmb

Metaballs II - http://www.paulsprojects.net/metaballs2/metaballs2.html