题目大意:

典题

数学分析 G(a,b)<sum[i]时 a优于b

G(a,b)<G(b,c)<sum[i]时 b必不为最优

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. #define N 500005
  3. using namespace std;
  4. int n,m,dp[N],deq[N],sum[N];
    // deq[]为单调队列 sum[]为数组的前缀和
  5. int DP(int i,int j) {
  6. return dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
  7. }
  8. int UP(int j,int k) { //yj-yk的部分
  9. return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);
  10. }
  11. int DOWN(int j,int k) {//xj-xk的部分
  12. return *(sum[j]-sum[k]);
  13. }
  14. /*
  15. 由分析 当0<a<b<i时
  16. 若(ya-yb)/(xa-xb)<sum[i]
  17. 此处表达为G(a,b)<sum[i] 则j优于k
  18.  
  19. 若存在a,b和b,c满足上述要求
  20. 即存在G(a,b)<sum[i] G(b,c)<sum[i]
  21. 若G(a,b)<G(b,c) 则b肯定不为最优点
  22. */
  23. int main()
  24. {
  25. while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
  26. sum[]=dp[]=;
  27. for(int i=;i<=n;i++) {
  28. int num; scanf("%d",&num);
  29. sum[i]=sum[i-]+num;
  30. }
  31. int head=, tail=;
  32. deq[tail++]=;
  33. for(int i=;i<=n;i++) {
  34. while(head+<tail && UP(deq[head+],deq[head])<=sum[i]
  35. *DOWN(deq[head+],deq[head]))
  36. head++; /// G(head+1,head)<=sum[i] 即head+1优于head 则去掉head
  37. dp[i]=DP(i,deq[head]); // 用此时的最优head更新dp[i]
  38. while(head+<tail && UP(i,deq[tail-])*DOWN(deq[tail-],deq[tail-])
  39. <=DOWN(i,deq[tail-])*UP(deq[tail-],deq[tail-]))
  40. tail--;
  41. /// 如果此时G(i,tail-1)<=G(tail-1,tail-2)<=sum[i] 则说明tail-1对应点为可删去
  42. deq[tail++]=i;
  43. }
  44. printf("%d\n",dp[n]);
  45. }
  46. return ;
  47. }
    /*
    纠结了一下维护单调队列时为什么判断条件是<=
    第一处 G(head+1,head)=sum[i] 说明 两者平等 不存在谁更优这个问题
    而仍然 head++; 是因为既然两者平等 那么只要留一个就可以了
    第二处 G(i,tail-1)=G(tail-1,tail-2) 说明 两者斜率相等
    即 i,tail-1,tail-2 三个对应点在同一条直线上
    那么 tail-1 这个点可以直接忽略 所以继续 tail--;
    */

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