UVALive 4270 Discrete Square Roots

题目描述：

　　在已知一个离散平方根的情况下，按照从小到大的顺序输出其他所有的离散平方根。

　　在模n意义下，非负整数x的离散平方根是满足0<=r<n且r²=x(mod n)的整数r。

解题思路：

　　假设要求的一个离散平方根为r₁，则有：

　　　　r²=x(mod n)

　　　　r₁²=x(mod n)

　　两式相减可得：

　　　　r²-r₁²=0（mod n）

　　即：

　　　　r²-r₁²=kn

　　令:

　　　　a*b=n

　　则有：

　　　　r-r₁=0(mod a)

　　　　r+r₁=0(mod b)

　　即：

　　　　r-r₁=k₁a

　　　　r+r₁=k₂b

　　两式相加可得：

　　　　k₁a+k₂b=2r

　　

　　据此，枚举n的所有约数，得到所有可能的a和b。

　　再利用扩展欧几里得算法解出所有的k₂，代入r-r₁=k₁a即可得到r₁。

代码在这：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef  long long ll;

 set<ll> ans;
  ll x,n,r;

 //扩展欧几里得算法
 void gcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
 {
     if(b==)
     {
         d=a;
         x=;
         y=;
     }
     else
     {
         gcd(b,a%b,d,y,x);
         y-=x*(a/b);
     }
 }

 void solve(ll a,ll b)
 {
     ll k1,k2,d;
     gcd(a,b,d,k1,k2);

     if(*r%d)
         return;

     k2*=(*r/d);

     ll aa=a/d;
     k2%=aa;//k2是所有形如k2+k*aa的整数，最小的k2对应最小的r1

     ll r1=k2*b-r;
     while(r1<n)
     {
         if(r1>=&&r1*r1%n==x)
             ans.insert(r1);

         r1+=aa*b;
     }
 }

 int main()
 {
     int ca=;
     while(~scanf("%lld%lld%lld",&x,&n,&r))
     {
         if(x==&&n==&&r==)
             break;

         ans.clear();

         for(ll i=;i*i<=n;i++)
             if(n%i==)
             {
                  solve(i,n/i);
                  solve(n/i,i);
             }

         printf("Case %d: %lld",++ca,*ans.begin());
         for(set<ll>::iterator it=ans.begin();it!=ans.end();it++)
             if(it!=ans.begin())
             printf(" %lld",*it);
         printf("\n");
     }
     return ;
 }