josephus问题

问题描述

n个人围成一圈，号码为1-n，从1开始报数，报到2的退出，剩下的继续从1开始报数，求最后一个人的号码。

算法分析

最直观的算法是用循环链表模拟。从首节点开始，不断删除第二个节点，直到只剩一个节点为止。时间复杂度是O(2n).

typedef struct josephusnode{
    struct josephusnode *next;
    int item;
}jnode;

int listjosephus(jnode *head){
    jnode *n = head;
    while(n->next!=n){
        jnode *t = n->next;
        n->next = t->next;
        n = n->next;
        free(t);
    }
    int retv = n->item;
    free(n);
    return retv;
}

更简单的方法是数学推导。Donald E. Knuth的《具体数学》有很详细精彩的推导过程，Josephus数具有这样的递归式：

j(1)=1

j(2n)=2j(n)-1

j(2n+1)=2j(n)+1

总结发现j（2m+n）=2n+1，代码很简单：

int mathjosephus(int n){
    int x=n, y=n;
    while(n){
        y = n;
        n &= n-;
    }
    x = ~y&x;
    x = +(x<<);
    return x;
}

参考:

《具体数学》

code:

https://github.com/coderkian/algorithm/blob/master/josephus.c