【BZOJ3700】发展城市 [LCA][RMQ]
发展城市
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Description
众所周知,Hzwer学长是一名高富帅,他打算投入巨资发展一些小城市。
Hzwer打算在城市中开N个宾馆,由于Hzwer非常壕,所以宾馆必须建在空中,但是这样就必须建立宾馆之间的连接通道。机智的Hzwer在宾馆中修建了N-1条隧道,也就是说,宾馆和隧道形成了一个树形结构。
Hzwer有时候会花一天时间去视察某个城市,当来到一个城市之后,Hzwer会分析这些宾馆的顾客情况。对于每个顾客,Hzwer用三个数值描述他:(S, T, V)表示该顾客这天想要从宾馆S走到宾馆T,他的速度是V。
Hzwer需要做一些收集一些数据,这样他就可以规划他接下来的投资。
其中有一项数据就是收集所有顾客可能的碰面次数。
每天清晨,顾客同时从S出发以V的速度前往T(注意S可能等于T),当到达了宾馆T的时候,顾客显然要找个房间住下,那么别的顾客再经过这里就不会碰面了。特别的,两个顾客同时到达一个宾馆是可以碰面的。同样,两个顾客同时从某宾馆出发也会碰面。
Input
第一行一个正整数T(1<=T<=20),表示Hzwer发展了T个城市,并且在这T个城市分别视察一次。
对于每个T,第一行有一个正整数N(1<=N<=10^5)表示Hzwer在这个城市开了N个宾馆。
接下来N-1行,每行三个整数X,Y,Z表示宾馆X和宾馆Y之间有一条长度为Z的隧道
再接下来一行M表示这天顾客的数量。
紧跟着M行每行三个整数(S, T, V)表示该顾客会从宾馆S走到宾馆T,速度为v
Output
对于每个T,输出一行,表示顾客的碰面次数。
Sample Input
3
1 2 1
2 3 1
3
1 3 2
3 1 1
1 2 3
1
0
Sample Output
0
HINT
1<=T<=20 1<=N<=10^5 0<=M<=10^3 1<=V<=10^6 1<=Z<=10^3
Main idea
给定若干个顾客,每个顾客会匀速从一个点走到另外一个点,问有几对人会在路上相遇。
Solution
由于人数较少,所以我们可以O(m^2)判断两人是否相交。
首先,两个人相遇只可能是在路径重叠的部分相遇,所以我们先对两人的路径求交,这里提供一种对树上路径求交的方法:
求出AB两人路径的交:
设A路径为a.u->a.v,B路径为b.u->b.v。那么我们求出 LCA(a.u,b.u),LCA(a.v,b.v),LCA(a.u,b.v),LCA(b.u,a.v),然后保留下在AB路径上的点。(判断一个点是否在路径上:若u在LCA(x,y)的子树中,且u为LCA(u,x)或者LCA(u,y),则u在路径x,y上),然后按照dfs序位置排序,去重,保留下后两个点,则后两个点即是路径的端点。
但是这样求交的话需要多次查询LCA,我们用每次log的时间查询显然会超时,于是我们引进O(nlog(n))预处理,O(1)查询的LCA。
O(1)查询的LCA:
我们先求出对于这棵树的欧拉序(欧拉序:记下每个点第一次访问的位置以及回溯完的位置),然后我们用那么这时候x,y之间的LCA也就是 [pos[x],pos[y]] 区间内深度最小的点(pos[x]表示点x第一次在欧拉序中出现的位置),这个区间最小值用RMQ求即可。
现在我们已经求出了路径的交集,然后我们暴力分类讨论一下。如果没有交集则必然不相交,若交于一点判断一下到达时间即可,否则:
先考虑两人运动的方向。我们记录p.u,p.v表示路径交集的两个端点。A1表示A到先进入路径的端点,A2表示A后到的端点,B1、B2类似(用距离长短判断即可),如果A1=B1则表示两人同向运动,否则表示相向运动。然后我们讨论一下:
同向运动:如果两人同向运动,那么若先进入路径的后离开路径,则两人会相遇。
相向运动:如果两人相向运动,则我们记录到端点的时间,如果两个人在路径上的时间有交集的话,则会相遇。
然后这样判断一下就可以求出答案了,但是由于double定义下的除法速度很慢,会被卡常数,所以我们再用在long long定义下的交叉相乘来判断以上情况。这样我们就解决了这道题\(≧▽≦)/
Code
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long s64; const int ONE = ; int T;
int n,m;
int x,y,z;
int next[ONE*],first[ONE],go[ONE*],w[ONE*],tot;
int pos[ONE],dfn_cnt,Dep[ONE],size[ONE];
int MinD[ONE*][],NumD[ONE*][];
int Log[ONE*],Bin[];
int Stk[],top,fc;
int Ans;
s64 d[ONE]; struct power
{
int u,v;
int val;
}a[],p; namespace input
{
const int BufferSize = << | ; char buffer[BufferSize];
char *head = buffer + BufferSize;
const char *tail = head; inline char nextChar()
{
if (head == tail)
{
fread(buffer, , BufferSize, stdin);
head = buffer;
}
return *head++;
} inline int get()
{
static char c;
while ((c = nextChar()) < '' || c > ''); int res = c - '';
while ((c = nextChar()) >= '' && c <= '')
res = res * + c - '';
return res;
}
}
using input::get; inline void Add(int u,int v,int z)
{
next[++tot]=first[u]; first[u]=tot; go[tot]=v; w[tot]=z;
next[++tot]=first[v]; first[v]=tot; go[tot]=u; w[tot]=z;
} namespace F
{
int Dfs(int u,int father)
{
pos[u] = ++dfn_cnt;
Dep[u] = Dep[father] + ;
size[u] = ;
MinD[dfn_cnt][]=Dep[u]; NumD[dfn_cnt][]=u;
for(int e=first[u];e;e=next[e])
{
int v=go[e];
if(v==father) continue;
d[v] = d[u] + w[e];
Dep[v] = Dep[u] + ;
Dfs(v,u);
size[u] += size[v];
MinD[++dfn_cnt][]=Dep[u]; NumD[dfn_cnt][]=u;
}
} inline void Pre_Rmq()
{
for(int j=;j<=;j++)
for(int i=;i<=dfn_cnt;i++)
if(i+Bin[j]- <= dfn_cnt)
{
int Next = i + Bin[j-];
if(MinD[i][j-] < MinD[Next][j-])
MinD[i][j]=MinD[i][j-], NumD[i][j]=NumD[i][j-];
else
MinD[i][j]=MinD[Next][j-], NumD[i][j]=NumD[Next][j-];
}
else break;
}
} inline int LCA(int x,int y)
{
x=pos[x]; y=pos[y];
if(x > y) swap(x,y);
int T = Log[y - x +];
if(MinD[x][T] < MinD[y-Bin[T]+][T]) return NumD[x][T];
return NumD[y-Bin[T]+][T];
} inline s64 dist(int x,int y)
{
return d[x] + d[y] - (d[LCA(x,y)] << ) ;
} namespace PD
{
inline bool inroad(int u,power a)
{
int lca = LCA(a.u,a.v);
if(LCA(u,lca) != lca) return ;
return (LCA(u,a.u)==u || LCA(u,a.v)==u);
}
} inline void Sort(int n)
{
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=i+;j<=n;j++)
if(pos[Stk[i]] > pos[Stk[j]])
swap(Stk[i], Stk[j]);
} inline power Get_road(power a,power b)
{
fc=top=;
Stk[++fc] = LCA(a.u,b.u); Stk[++fc] = LCA(a.v,b.v);
Stk[++fc] = LCA(a.u,b.v); Stk[++fc] = LCA(b.u,a.v);
for(int i=;i<=fc;i++)
if(PD::inroad(Stk[i],a) && PD::inroad(Stk[i],b))
Stk[++top] = Stk[i]; Sort(top);
top=unique(Stk+,Stk+top+) - Stk - ; power p; p.val = ;
if(top==) p.u = p.v = ;
if(top==) p.u = p.v = Stk[];
if(top==) p.u=Stk[], p.v=Stk[];
if(top==) p.u=Stk[], p.v=Stk[];
return p;
} inline bool pmin(s64 a,s64 b,s64 c)
{
if(a<=b && b<=c) return ;
return ;
} inline int Deal(int x,int y)
{
if(a[x].u == a[y].u) return ;
p = Get_road(a[x],a[y]);
if(p.u==p.v)
{
if(!p.u) return ;
return (s64) dist(a[x].u,p.u) * a[y].val == (s64) dist(a[y].u,p.u) * a[x].val;
} int A1,A2,B1,B2;
double A1_time,A2_time,B1_time,B2_time;
if(dist(a[x].u,p.u) < dist(a[x].u,p.v)) A1=p.u, A2=p.v;else A1=p.v, A2=p.u;
if(dist(a[y].u,p.u) < dist(a[y].u,p.v)) B1=p.u, B2=p.v;else B1=p.v, B2=p.u; A1_time=(s64)dist(A1,a[x].u)*a[y].val; A2_time=(s64)dist(A2,a[x].u)*a[y].val;
B1_time=(s64)dist(B1,a[y].u)*a[x].val; B2_time=(s64)dist(B2,a[y].u)*a[x].val; if(A1==B1)//same
{
if(A1_time == B1_time) return ;
if(A1_time < B1_time) return A2_time >= B2_time;
return A2_time <= B2_time;
}
else
{
if(pmin(A1_time,B1_time,A2_time)) return ;
if(pmin(A1_time,B2_time,A2_time)) return ;
if(pmin(B1_time,A1_time,B2_time)) return ;
if(pmin(B1_time,A2_time,B2_time)) return ;
return ;
}
} inline void Solve()
{
n=get();
dfn_cnt=tot=;
memset(first,,sizeof(first));
for(int i=;i<n;i++)
{
x=get(); y=get(); z=get();
Add(x,y,z);
} F::Dfs(,); F::Pre_Rmq(); m=get();
for(int i=;i<=m;i++)
{
a[i].u=get(); a[i].v=get(); a[i].val=get();
} Ans = ; for(int i=;i<=m;i++)
for(int j=i+;j<=m;j++)
{
Ans += Deal(i,j);
} printf("%d\n",Ans);
} int main()
{
Log[]=-; for(int i=;i<=2e5;i++) Log[i] = Log[i>>] + ;
Bin[]=; for(int i=;i<=; i++) Bin[i] = Bin[i-] << ; T=get(); while(T--)
Solve();
}
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