理想的正方形

  【题目描述】

  一个a*b的矩阵,从中取一个n*n的子矩阵,使所选矩阵中的最大数与最小数的差最小。

  思路:

  二维的滑动窗口

  对于每行:用一个单调队列维护,算出每个长度为n的区间的最大值和最小值,分别存在两个数组fmin和fmax中,fmax[i][j]表示第i行区间[j,j+n-1]的最大值。

  对于每列:用一个单调队列维护,算出fmax和fmin数组中纵列每个长度为n的区间的最大值和最小值,分别存在两个数组ffmin和ffmax中,

ffmax[i][j]表示以(i,j)为左上端点的大小为n*n的矩阵中的最大值。

  扫一遍ffmax[1~a-n+1][1~b-n+1]和ffmin[1~a-n+1][1~b-n+1]的差,得出ans。

  单调队列原理:

  以维护最大值为例:

  对于每个新加入区间的值,显而易见的是:对于向右移动的“窗口”,即当前长度为n的区间中,若存在data[q[i]]比data[q[j]]大且q[i]>q[j](q[i]表示队列中的第i个元素的编号,data[i]表示编号为i的元素的值),则可以保证q[j]在以后的区间取最大值时是不会产生影响的,我们便可以将q[j]删除,从而得到更加优秀的时间复杂度,所以,当一个新的值入队时,便可以将在其前面入队且值比它小的元素删除。 我们便可以发现可以用一个单调队列维护。 当然,对于不在当前区间内的“老”元素,要把它从队列中删除。

贴C++代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a,b,n;
int g[][],fmin[][],fmax[][],ffmin[][],ffmax[][],queue[],head,tail,i,j,ans=0x7fffffff;
int main()
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&n);
for(i=;i<=a;i++)
for(j=;j<=b;j++)
scanf("%d",&g[i][j]);
for(i=;i<=a;i++) //枚举每行 单调递减求区间最大值
{
head=;tail=;
memset(queue,,sizeof(queue));
for(j=;j<n;j++)
{
while(tail>&&g[i][queue[tail]]<g[i][j]) tail--;
queue[++tail]=j;
}
for(j=n;j<=b;j++)
{
while(tail>=head&&g[i][queue[tail]]<g[i][j]) tail--;
queue[++tail]=j;
if(queue[head]<j-n+) head++;
fmax[i][j-n+]=g[i][queue[head]];
}
}
for(i=;i<=a;i++) //枚举每行 单调递增求区间最小值
{
head=;tail=;
memset(queue,,sizeof(queue));
for(j=;j<n;j++)
{
while(tail>&&g[i][queue[tail]]>g[i][j]) tail--;
queue[++tail]=j;
}
for(j=n;j<=b;j++)
{
while(tail>=head&&g[i][queue[tail]]>g[i][j]) tail--;
queue[++tail]=j;
if(queue[head]<j-n+) head++;
fmin[i][j-n+]=g[i][queue[head]];
}
}
for(i=;i<=b-n+;i++) //枚举每列 单调递减求区间最大值
{
head=;tail=;
memset(queue,,sizeof(queue));
for(j=;j<n;j++)
{
while(tail>&&fmax[queue[tail]][i]<fmax[j][i]) tail--;
queue[++tail]=j;
}
for(j=n;j<=a;j++)
{
while(tail>=head&&fmax[queue[tail]][i]<fmax[j][i]) tail--;
queue[++tail]=j;
if(queue[head]<j-n+) head++;
ffmax[j-n+][i]=fmax[queue[head]][i];
}
}
for(i=;i<=b-n+;i++) //枚举每列 单调递增求区间最小值
{
head=;tail=;
memset(queue,,sizeof(queue));
for(j=;j<n;j++)
{
while(tail>&&fmin[queue[tail]][i]>fmin[j][i]) tail--;
queue[++tail]=j;
}
for(j=n;j<=a;j++)
{
while(tail>=head&&fmin[queue[tail]][i]>fmin[j][i]) tail--;
queue[++tail]=j;
if(queue[head]<j-n+) head++;
ffmin[j-n+][i]=fmin[queue[head]][i];
}
}
for(i=;i<=a-n+;i++)
for(j=;j<=b-n+;j++)
ans=min(ans,ffmax[i][j]-ffmin[i][j]);
printf("%d\n",ans);
return ;
}

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