CERC2017 Gambling Guide,最短路变形,期望dp
题意
给定一个无向图,你需要从1点出发到达n点,你在每一点的时候,使用1个单位的代价,随机得到相邻点的票,但是你可以选择留在原地,也可以选择使用掉这张票,
问到达n点的最小代价的方案的期望是多少。
分析
dp [i] : 从I 到 n 需要coin 数量的期望
显然 dp[n]=。逆序更新 (除了dp[n] ,其他的全初始化为 inf)
如果当前点为u,v为u的相邻点。
v第一次被更新,那么 dp[v]=(deg[v]-)/deg[v]*dp[v]+/deg[v]*dp[u]+(+1是因为又需要一个coin)deg[v]- 为留在v点的概率,即dp[v]=((deg[v]-)*dp[v]+dp[u])/deg[v]+
数学变化后:dp[v]=deg[v]+dp[u]
如果当前点为 P,v为p的相邻点
如果 dp[v]>dp[p] ,那么v再次被更新,假设为第二次更新,那么:
dp[v]=((deg[v]-)*dp[v]+dp[u]+dp[p])/deg[v]+ 即 dp[v]=(dp[p]+dp[u]+deg[v])/
同理第n次更新时:dp[v]=(dp[u]+dp[p]+dp[q]+....+deg[v])/n
Used[v]:用来标记v现在是第几次被更新。可以得到:
double tmp = dp[v]*used[v];
used[v]++;
dp[v] = (tmp+xp)/used[v];
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N =;
double dp[N];
#define P pair<double,int>
const double inf = ;
int n,m,x,y;
bool vis[N];
int used[N],deg[N];
struct Node{
int fr,to,nex;
}e[N*];
int head[N],cnt;
void init()
{
for(int i =;i<N;i++)
{head[i] = -;
vis[i]=;
used[i]=;
deg[i]=;
}
cnt = ;
}
void add(int u,int v)
{
e[cnt].fr=u;e[cnt].to=v;
e[cnt].nex=head[u];head[u]=cnt++;
} void solve()
{
for(int i =;i<n;i++) dp[i] = inf; priority_queue<P,vector<P>,greater<P> >que;//是greater
que.push(P(,n));
vis[n] =;
while(!que.empty()){
P p =que.top();que.pop();
int u = p.second;double xp =p.first;
if(dp[u]<xp) continue;
for(int i =head[u];i+;i=e[i].nex){
Node nod = e[i];
int v=nod.to;
if(!vis[v]){
vis[v] = ;
used[v]=;
dp[v] = deg[v]+xp;
que.push(P(dp[v],v));
}
else if(dp[v]>xp){
double tmp = dp[v]*used[v];
//xp+=tmp; 这样 xp 在不断变化
used[v]++;
//dp[v]=xp/used[v];
dp[v] = (tmp+xp)/used[v];
que.push(P(dp[v],v));
}
}
} }
int main()
{ init();
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i =;i<m;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);add(y,x);
deg[x]++;deg[y]++;
} solve();
printf("%.12f\n",dp[]);
return ;
}
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