COGS 2259 异化多肽 —— 生成函数+多项式求逆

题目：http://cogs.pro:8080/cogs/problem/problem.php?pid=2259

如果构造生成函数是许多个 \( (1+x^{k}+x^{2k}+...) \) 相乘，不好算排列数；

发现排列数和肽链的长度，使用的种类数有关；

所以构造 \( A(x) \)，次数是质量，系数是这个质量的氨基酸有多少种；

发现答案就是 \( B(x) = 1 + A(x) + A(x)^{2} + ... \)，其中 \( A(x) \) 的次数就是长度；

所以 \( B(x) = \frac{1}{1-A(x)} ( mod x^{n+1} ) \)，多项式求逆即可。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=(<<),mod=;
int n,m,f[xn],g[xn],c[xn],rev[xn];
int rd()
{
  int ret=,f=; char ch=getchar();
  while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
  while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
ll pw(ll a,int b)
{
  ll ret=;
  for(;b;b>>=,a=(a*a)%mod)if(b&)ret=(ret*a)%mod;
  return ret;
}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
void ntt(int *a,int tp,int lim)
{
  for(int i=;i<lim;i++)
    if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int mid=;mid<lim;mid<<=)
    {
      int len=(mid<<),wn=pw(,tp==?(mod-)/len:(mod-)-(mod-)/len);
      for(int j=;j<lim;j+=len)
    for(int k=,w=;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)
      {
        int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;
        a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);
      }
    }
  if(tp==)return; int inv=pw(lim,mod-);
  for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void inv(int *a,int *b,int n)
{
  if(n==){b[]=pw(a[],mod-); return;}
  inv(a,b,(n+)>>);
  int lim=,l=;
  while(lim<n+n)lim<<=,l++;
  for(int i=;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(l-)));
  for(int i=;i<n;i++)c[i]=a[i];
  for(int i=n;i<lim;i++)c[i]=;
  ntt(c,,lim); ntt(b,,lim);
  for(int i=;i<lim;i++)b[i]=upt((-(ll)c[i]*b[i])%mod*b[i]%mod);//c !a
  ntt(b,-,lim);
  for(int i=n;i<lim;i++)b[i]=;
}
int main()
{
  //freopen("polypeptide.in","r",stdin);
  //freopen("polypeptide.out","w",stdout);
  n=rd(); m=rd(); int mx=;
  for(int i=,x;i<=m;i++)x=rd(),f[x]++,mx=max(mx,x);
  f[]=;
  for(int i=;i<=mx;i++)f[i]=upt(-f[i]);
  inv(f,g,n+);
  printf("%d\n",g[n]);
  return ;
}