PKU 3169 Layout(差分约束系统+Bellman Ford)

题目大意：原题链接

当排队等候喂食时，奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近些。FJ有N（2<=N<=1000）头奶牛，编号从1到N，沿一条直线站着等候喂食。奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的。因为奶牛相当苗条，所以可能有两头或者更多奶牛站在同一位置上(即间距可能为0)。即是说，如果我们想象奶牛是站在一条数轴上的话，允许有两头或更多奶牛拥有相同的横坐标。

一些奶牛相互间存有好感，它们希望两者之间的距离不超过一个给定的数L。另一方面，一些奶牛相互间非常反感，它们希望两者间的距离不小于一个给定的数D。给出ML条关于两头奶牛间有好感的描述，再给出MD条关于两头奶牛间存有反感的描述。（1<=ML,MD<=10000，1<=L,D<=1000000）

你的工作是：如果不存在满足要求的方案，输出-1；如果1号奶牛和N号奶牛间的距离可以任意大，输出-2；否则，计算出在满足所有要求的情况下，1号奶牛和N号奶牛间可能的最大距离。

解题思路：参考链接(个人认为解释的相当到位)

先介绍一下负权回路：在一个图里每条边都有一个权值（有正有负)

如果存在一个环（从某个点出发又回到自己的路径），而且这个环上所有权值之和是负数，那这就是一个负权环，也叫负权回路。

存在负权回路的图是不能求两点间最短路的，因为只要在负权回路上不断兜圈子，所得的最短路长度可以任意小。

对于任意i号奶牛，1<=i<=N，在距离上应该满足：d[i+1]-d[i]>=0(//所以得保持方向一致,始终从1指向N)

对于每个好感的描述(i,j,w),假设i<=j,体现到距离上的要求就是：d[j]-d[i]<=w

对于每个反感的描述(i,j,w),假设i<=j,体现到距离上的要求就是：d[j]-d[i]>=w

1.(假设v>u),则对于差分不等式v-u<=w,建一条u到v的权值为w的边,取的是最大值,求的是最短路,得到的是最大值(本题求的就是最大值);

对于不等式 u-v>=w,建一条从v到u的权值为-w的边,仍然取的是最大值,求的是最短路,得到的是最大值。

每次都是取的最大值朝同一个方向(从编号小的指向大的)建图。如果反感,这时距离是两头牛间的最小距离,当权值变为相反数后,

反而变成最大距离(因为如果距离更大的话取相反数后数值更小,编号为1~N奶牛之间可能的最大距离也就更短,这样不符合题意)

2.如果进行n-1次更新结束后仍然检测到负环,那么无解。

3.如果进行n-1次更新结束后d[n]没有更新,那么可以是任意解。

问题1.问题是否有解等价于图G是否没有负权回路?

证明：若G中无负权回路，我们可以求出v₁其他顶点u的最短路长，设为d(u)。由于是最短路，因此对于任意边e=uv，有d(u)+w(e)>=d(v)(否则d[u]一定还能更新)

从而所有的约束条件都被满足，问题一定有解。若G中有负权回路，说明在任何时刻，G中至少有一个点v的最短路长还可以更新，因此必须存在一条边e=uv，

使得d(u)+w(e)<d(v)。所以无论何时，都会有某个约束条件不被满足，问题无解。（证毕）

问题2.若运行Bellman-Ford后，标号为N的顶点的最短路估计值仍为充分大，那么N和1的距离可以任意大?

证明：从刚才的操作可以看出，到了这一步，已经把含有负权回路的情况排除掉了。在图G中，该充分大的值比可能得到的最大距离(原图中最大的边权×顶点数)大，

因为只要无环,每个顶点最多只会被经过一次,跑出的最短距离肯定比这个值小,所以我们可以把这个值看作是无穷大

因此，它和任意大的值对于G的效果都是一样的（同样大于合法的最大距离）。由于充分大的值在G中满足约束(因为通过约束条件建图后跑出来的最短路肯定是满足约束的)

所以任意大的值亦满足约束，从而距离可以任意大。（证毕）

问题3.若运行Bellman-Ford后，标号为N的顶点的最短路估计值比充分大小，那么它是N和1可能的最大距离?

证明：设D[i]是顶点i和1的最短路径估计值，d[i]是顶点i和1可能的最大距离。

运用反证法，我们首先证明，d[n]<=D[n]。

假设d[n]>D[n]，那么在Bellman-Ford运行之前，将赋予每个顶点i的充分大的值换成对应的d[i]。由于d本身满足所有约束条件，所以运行后，得出D'=d。由于充分大的值比所有d[i]都大，而求最短路运用的是逐步松弛操作，我们设立一个更大的初值不可能导致我们的终值反而更小。所以对于任意i，必定有D[i]>=D'[i]，即有D[n]>=d[n]，这与我们的假设矛盾。

然后我们证明，d[n]>=D[n]。

根据d[i]的定义，它是i和1的可能最大距离。由于D[i]是满足题目的所有约束的(因为D[i]是根据约束条件建图后跑最短路得到的结果肯定满足约束条件)，所以D[i]是顶点i和1可能的距离之一。

如果D[i]>d[i]，那么与d[i]的定义矛盾。

综合上述，有D[i]=d[i]。从而D[n]是n和1可能的最大距离。（证毕）

运行Bellman-Ford最坏情况下的复杂度是O((ML+MD)*N)=O(2*10⁷)，可以在规定时间内解出。

题目中的相邻点距为① -7->② -3->③ -17->④便是答案,完全符合题目要求

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct node
{
    int u,v;
    int w;
}edge[];
int n,m;
int tot=,d[];

void Add(int u,int v,int w)
{
    edge[tot].u=u;
    edge[tot].v=v;
    edge[tot++].w=w;
}
int Bellman_Ford()
{
    for(int i=;i<=n;i++)
        d[i]=inf;
    d[]=;
    for(int i=;i<n;i++){
        for(int j=;j<m;j++){
            int u=edge[j].u;
            int v=edge[j].v;
            int w=edge[j].w;
            if(d[u]<inf&&d[u]+w<d[v])
                d[v]=d[u]+w;
        }
    }
    for(int j=;j<m;j++){//检测负环
        int u=edge[j].u;
        int v=edge[j].v;
        int w=edge[j].w;
        if(d[u]<inf&&d[u]+w<d[v])
            return ;
    }
    return ;
}

int main(){
    int ml,md,u,v,w;
    scanf("%d%d%d",&n,&ml,&md);
    m=ml+md;
    for(int i=;i<ml;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        if(u>v) swap(u,v);//保持方向一致,始终从1指向N
        Add(u,v,w);
    }//好感d[v]-d[u]<=w
    for(int i=;i<md;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        if(u>v) swap(u,v);
        Add(v,u,-w);
    }//反感d[v]-d[u]>=w
    if(!Bellman_Ford()) printf("-1\n");
    else if(d[n]==inf) printf("-2\n");
    else printf("%d\n",d[n]);
}