【算法】2-sat问题【模板】

什么是2-sat问题

有n个布尔型变量xi，另外m个需要满足的条件。每个条件都是“xi为真/假或者xj为真/假”。这句话中的“或者”意味着两个条件中至少有一个正确。2-sat问题的目标是给每个变量赋值，使得所有的条件得到满足。

算法的大致过程是这样的：

构造一张有向图G，其中每个变量拆成两个结点2i和2i+1，分别表示xi为假和xi为真。最后要为每个变量选其中一个结点标记。

对于每个“xi为假或者xj为假"这样的条件，我们连两条对称的有向边。我们上面说过，或者意味着两个中间至少有一个正确。所以如果xi为真的话，那么xj一定为假，所以我们从2*i+1向2*j连一条有向边。同样的道理，我们也从2*j+1向2*i连一条有向边。

接下来我们逐一考虑每个没有赋值的变量，设为xi。我们先假定它为假，然后标记结点2i，并且沿着有向边标记所有能标记的结点。如果标记的过程中发现某个变量对应的两个结点都被标记，则xi假这个假定不成立，需要改为xi为真，然后重新标记。

模板代码如下

code from LRJ

 /*
 将每个变量拆成两个点2i和2i+1，分别表示xi为假和xi和真
 对于每个条件，连两条对称的有向边。
 逐一考虑没有赋值的变量，先假定它为假，然后标记结点2i，然后沿着有向边标记所有能标记的结点
 如果标记的过程中 发现某个变量对应的两个结点都被标记，则xi为假这个假定不成立，需要改xi为真
 然后重新标记
 */
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <vector>
 
 using namespace std;
 const int maxn=+;
 struct TwoSAT{
     int n;
     vector<int>G[*maxn];
     bool mark[maxn*];
     int S[maxn*],c;
     bool dfs(int x){
         if(mark[x^])return false;
         if(mark[x])return true;
         mark[x]=true;
         S[c++]=x;
         for(int i=;i<G[x].size();i++){
             if(!dfs(G[x][i]))return false;
         }
         return true;
     }
     void init(int n){
         this->n=n;
         for(int i=;i<n*;i++)G[i].clear();
         memset(mark,,sizeof(mark));
     }
     void add_clause(int x,int xval,int y,int yval){
         x=x*+xval;
         y=y*+yval;
         G[x^].push_back(y);
         G[y^].push_back(x);
     }
 
     bool solve(){
         for(int i=;i<n*;i+=){
             if(!mark[i]&&!mark[i+]){
                 c=;
                 if(!dfs(i)){
                     while(c>)mark[S[--c]]=false;
                     if(!dfs(i+))return false;
                 }
             }
         }
         return true;
     }
 };
 int main(){
 return ;
 }