一、概念

  从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排列起来,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。如果这组数有n个,那么全排列数为n!个。

  比如a,b,c的全排列一共有3!= 6 种 分别是{a, b, c}、{a, c, b}、{b, a, c}、{b, c, a}、{c, a, b}、{c, b, a}。

二、常用操作

  1.头文件

#include <algorithm>

  2.使用方法

  这里先说两个概念:“下一个排列组合”和“上一个排列组合”,对序列 {a, b, c},每一个元素都比后面的小,按照字典序列,固定a之后,a比bc都小,c比b大,它的下一个序列即为{a, c, b},而{a, c, b}的上一个序列即为{a, b, c},同理可以推出所有的六个序列为:{a, b, c}、{a, c, b}、{b, a, c}、{b, c, a}、{c, a, b}、{c, b, a},其中{a, b, c}没有上一个元素,{c, b, a}没有下一个元素。

    1)next_permutation:求下一个排列组合 

a.函数模板:next_permutation(arr, arr+size);
b.参数说明:
  arr: 数组名
  size:数组元素个数
c.函数功能: 返回值为bool类型,当当前序列不存在下一个排列时,函数返回false,否则返回true,排列好的数在数组中存储

d.注意:在使用前需要对欲排列数组按升序排序,否则只能找出该序列之后的全排列数。
    比如,如果数组num初始化为2,3,1,那么输出就变为了:{2 3 1} {3 1 2} {3 2 1}

2)prev_permutation:求上一个排列组合

a.函数模板:prev_permutation(arr, arr+size);
b.参数说明:
  arr: 数组名
  size:数组元素个数
c.函数功能: 返回值为bool类型,当当前序列不存在上一个排列时,函数返回false,否则返回true
d.注意:在使用前需要对欲排列数组按降序排序,否则只能找出该序列之后的全排列数。

三、代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main ()
{
int arr[] = {,,};
cout<<"用prev_permutation对3 2 1的全排列"<<endl;
do
{
cout << arr[] << ' ' << arr[] << ' ' << arr[]<<'\n';
}
while ( prev_permutation(arr,arr+) ); ///获取上一个较大字典序排列,如果3改为2,只对前两个数全排列 int arr1[] = {,,};
cout<<"用next_permutation对1 2 3的全排列"<<endl;
do
{
cout << arr1[] << ' ' << arr1[] << ' ' << arr1[] <<'\n';
}
while ( next_permutation(arr1,arr1+) ); ///获取下一个较大字典序排列,如果3改为2,只对前两个数全排列
///注意数组顺序,必要时要对数组先进行排序 return ;
}

 四、全排列递归思路

我们可以将这个排列问题画成图形表示,即排列枚举树,比如下图为{1,2,3}的排列枚举树,此树和我们这里介绍的算法完全一致;
 
 
算法思路:
(1)n个元素的全排列=(n-1个元素的全排列)+(另一个元素作为前缀);
(2)出口:如果只有一个元素的全排列,则说明已经排完,则输出数组;
(3)不断将每个元素放作第一个元素,然后将这个元素作为前缀,并将其余元素继续全排列,等到出口,出口出去后还需要还原数组;
代码:

public class hello {
public static int arr[] = new int[]{,,};
public static void main(String[] args) {
perm(arr,,arr.length-);
}
private static void swap(int i1, int i2) {
int temp = arr[i2];
arr[i2] = arr[i1];
arr[i1] = temp;
} /**
* 对arr数组中的begin~end进行全排列
*
* 比如:
* arr = {1,2,3}
* 第一步:执行 perm({1,2,3},0,2),begin=0,end=2;
* j=0,因此执行perm({1,2,3},1,2),begin=1,end=2;
* j=1,swap(arr,0,0)-->arr={1,2,3}, perm({1,2,3},2,2),begin=2,end=2;
* 因为begin==end,因此输出数组{1,2,3}
* swap(arr,1,1) --> arr={1,2,3};
* j=2,swap(arr,1,2)-->arr={1,3,2}, perm({1,3,2},2,2),begin=2,end=2;
* 因为begin==end,因此输出数组{1,3,2}
* swap(arr,2,1) --> arr={1,2,3};
* j=1,swap(arr,0,1) --> arr={2,1,3}, perm({2,1,3},1,2),begin=1,end=2;
* j=1,swap(arr,1,1)-->arr={2,1,3} perm({2,1,3},2,2),begin=2,end=2;
* 因为begin==end,因此输出数组{2,1,3}
* swap(arr,1,1)--> arr={2,1,3};
* j=2,swap(arr,1,2)后 arr={2,3,1},并执行perm({2,3,1},2,2),begin=2,end=2;
* 因为begin==end,因此输出数组{2,3,1}
* swap(arr,2,1) --> arr={2,1,3};
* swap(arr,1,0) --> arr={1,2,3}
* j=2,swap(arr,2,0) --> arr={3,2,1},执行perm({3,2,1},1,2),begin=1,end=2;
* j=1,swap(arr,1,1) --> arr={3,2,1} , perm({3,2,1},2,2),begin=2,end=2;
* 因为begin==end,因此输出数组{3,2,1}
* swap(arr,1,1) --> arr={3,2,1};
* j=2,swap(arr,2,1) --> arr={3,1,2},并执行perm({2,3,1},2,2),begin=2,end=2;
* 因为begin==end,因此输出数组{3,1,2}
* swap(arr,2,1) --> arr={3,2,1};
* swap(arr,0,2) --> arr={1,2,3}
*
*/
public static void perm(int arr[], int begin,int end) {
if(end==begin){ //一到递归的出口就输出数组,此数组为全排列
for(int i=;i<=end;i++){
System.out.print(arr[i]+" ");
}
System.out.println();
return;
}
else{
for(int j=begin;j<=end;j++){
swap(begin,j); //for循环将begin~end中的每个数放到begin位置中去
perm(arr,begin+,end); //假设begin位置确定,那么对begin+1~end中的数继续递归
swap(begin,j); //换过去后再还原
}
}
}
}

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