对背包问题(Knapsack Problem)的算法探究

对背包问题(Knapsack Problem)的算法探究

至繁归于至简，这次自己仍然用尽可能易理解和阅读的解决方式。

1、问题说明：

假设有一个背包的负重最多可达8公斤，而希望在背包中装入负重范围内可得之总价物品，假设是水果好了，水果的编号、单价与重量如下所示：

2、解法：

背包问题是关于最佳化的问题，要解最佳化问题可以使用「动态规划」（Dynamic programming），从空集合开始，每增加一个元素就先求出该阶段的最佳解，直到所有的元素加入至集合中，最后得到的就是最佳解。

以背包问题为例，我们使用两个阵列value与item，value表示目前的最佳解所得之总价，item表示最后一个放至背包的水果，假设有负重量 1～8的背包8个，并对每个背包求其最佳解。

逐步将水果放入背包中，并求该阶段的最佳解：

放入李子

放入苹果

放入橘子

放入草莓

放入甜瓜

由最后一个表格，可以得知在背包负重8公斤时，最多可以装入9050元的水果，而最后一个装入的 水果是3号，也就是草莓，装入了草莓，背包只能再放入7公斤（8-1）的水果，所以必须看背包负重7公斤时的最佳解，最后一个放入的是2号，也就 是橘子，现在背包剩下负重量5公斤（7-2），所以看负重5公斤的最佳解，最后放入的是1号，也就是苹果，此时背包负重量剩下0公斤（5-5），无法 再放入水果，所以求出最佳解为放入草莓、橘子与苹果，而总价为9050元。

3、具体代码：

/**
 * @Title  对背包问题(Knapsack Problem)的算法探究
 * @Author 孙琨
 * @Date   2013-11-19
 * @At     XUST
 * @All Copyright by 孙琨
 *
 */        

#include <stdio.h>

#define LIMIT 8
#define N 5
#define MIN 1

struct body
{
	char name[20];
	int size;
	int price;
};

typedef struct body object;

int main(void)
{
	int item[LIMIT + 1] = {0};
	int value[LIMIT + 1] = {0};
	int newvalue,i,s,p;

	object a[] = {
		{"李子",4,4500},
		{"苹果",5,5700},
		{"橘子",2,2250},
		{"草莓",1,1100},
		{"甜瓜",6,6700}
	};

	for(i=0; i<N; i++)
	{
		for(s=a[i].size; s<=LIMIT; s++)
		{
			p = s - a[i].size;
			newvalue = value[p] + a[i].price;
            if(newvalue > value[s])  // 找到阶段最佳解
			{
				value[s] = newvalue;
				item[s] = i;
			}
		}
	}

	printf("物品\t价格\n");
	for(i=LIMIT; i>=MIN; i=i-a[item[i]].size)
	{
		printf("%s\t%d\n",a[item[i]].name,a[item[i]].price);
	}

	printf("合计\t%d\n",value[LIMIT]);

	return 0;
}

4、运行结果截图：