【ROC曲线】关于ROC曲线、PR曲线对于不平衡样本的不敏感性分析说引发的思考
ROC曲线
在网上有很多地方都有说ROC曲线对于正负样本比例不敏感,即正负样本比例的变化不会改变ROC曲线。但是对于PR曲线就不一样了。PR曲线会随着正负样本比例的变化而变化。但是没有一个有十分具体和严谨地对此做出过分析和论证(至少我没有找到)。
此处记为结论1:
结论1:PR曲线会随着正负样本比例的变化而变化;但是ROC曲线不会。 |
此处我就这一问题进行了详细的分析论证,并在这个过程中引发了很多思考。
首先,如何分析这个问题呢?
看下ROC曲线是由TPR和FPR组成的
下面我们这样来分析这个问题,首先构造出一个数据集,并且其中某个参数可以控制数据集中正负正负样本比例。在不同样本分布的情况下,我们计算TPR,FPR,PREC,RECALL,如果TPR与FPR的关系与正负样本比例无关,而PREC与RECALL的关系与正负样本比例有关,则可以论证结论1。
下面我们做出如下假设,并生成数据集来验证结论1
假设1:
数据集的score和Y是这样生成的,即score决定了Y的概率,P(Y=1|score)=score
数据集均匀地在0~m之间生成,即s服从在0~m之间的均匀分布。通过m的改变,可以改变正负样本的比例,从而严重不同比例下的TPR,FPR,PREC,RECALL变化情况...
\begin{equation} \left\{\begin{matrix}
TP=N\int_{c}^{m}sds=\frac{N}{2}(m^{2}-c^{2})
\\ FP=N\int_{c}^{m}(1-s)ds=N(m-c)-\frac{N}{2}(m^{2}-c^{2})
\\ TN=N\int_{0}^{c}(1-s)ds=N(c-\frac{1}{2}c^{2})
\\ FN=N\int_{0}^{c}sds=\frac{N}{2}c^{2}
\end{matrix}\right. \end{equation}
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通过以上结果分别计算TPR,FPR,PREC
\begin{equation} \left\{\begin{matrix}
TPR=\frac{TP}{TP+FN}=1-\frac{c-\frac{1}{2}c^{2}}{m-\frac{1}{2}m^{2}}
\\ FPR=\frac{FP}{FP+TN}=1-(\frac{c}{m})^{2}
\\ PREC=\frac{TP}{TP+FP}=\frac{1}{2}(m+c)
\end{matrix}\right. \end{equation}
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得出如下结论: 即结论1不成立,和起初设想的不一样,怎么办呢,还是拿实际数据来说话吧。
matlab模拟
假设一个生成模型,p(s|y=1)服从N(1,1),p(s|y=0)服从N(-1,1),score即为s,即我们的预测值,通过改变正负样本比例,画出在2种比例下的ROC曲线,看有没有区别。
代码如下:
N=;
M=floor(N*);%不平衡样本
score=[normrnd(,,,N) normrnd(-,,,M)];
y=[ones(,N) zeros(,M)];
[TPR,FPR,TH] = roc(y,score);
plot(FPR,TPR,'r')
hold on
M=floor(N*);%平衡样本
score=[normrnd(,,,N) normrnd(-,,,M)];
y=[ones(,N) zeros(,M)];
[TPR,FPR,TH] = roc(y,score);
plot(FPR,TPR,'b')
%结果一样
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图1 ROC不随着样本比例变化而变化
发现之前的分析是错误的,但是为什么呢?咋看下来,假设完全合理的呀,
下面我们构造一个生成模型,从这里生成的数据出发,重新分析一下:
假设2:
先验分布如下:P(Y=1)=z,P(Y=0)=1-z,这里的z可以控制样本的正负比例
在Y=1,0时会有不同的概率分布来产生一个观测量,即我们的score,它们的pdf分别是p(s|Y=1),p(s|Y=0)
我们根据这个先验和后验分布来生成我们的数据,样本个数为N,然后通过取不同的cutoff(记为c),得到不同cutoff下的TP,FP,TN,FN...
依据这个假设,我们可以得到
\begin{equation}\left\{\begin{matrix}
TP=N\int_{c}^{\infty}p(Y=1|s)p(s)ds=N\int_{c}^{\infty}p(Y=1,s)ds=N\int_{c}^{\infty}p(s|Y=1)P(Y=1)ds=N*P(Y=1)\int_{c}^{\infty}p(s|Y=1)ds
\\ FP=N\int_{c}^{\infty}p(Y=0|s)p(s)ds=N\int_{c}^{\infty}p(Y=0,s)ds=N\int_{c}^{\infty}p(s|Y=0)P(Y=0)ds=N*P(Y=0)\int_{c}^{\infty}p(s|Y=0)ds
\\ TN=N\int_{-\infty }^{c}p(Y=0|s)p(s)ds=N\int_{-\infty }^{c}p(Y=0,s)ds=N\int_{-\infty }^{c}p(s|Y=0)P(Y=0)ds=N*P(Y=0)\int_{-\infty }^{c}p(s|Y=0)ds
\\ FN=N\int_{-\infty }^{c}p(Y=1|s)p(s)ds=N\int_{-\infty }^{c}p(Y=1,s)ds=N\int_{-\infty }^{c}p(s|Y=1)P(Y=1)ds=N*P(Y=1)\int_{-\infty }^{c}p(s|Y=1)ds
\end{matrix}\right. \end{equation}
所以可以得到TPR,FPR和PREC,RECALL
\begin{equation} FPR=\frac{FP}{FP+TN}=\frac{P(Y=0)\int_{c}^{\infty}p(s|Y=0)ds}{P(Y=0)}=\int_{c}^{\infty}p(s|Y=0)ds \end{equation}
\begin{equation} TPR=\frac{TP}{TP+FN}=\frac{P(Y=1)\int_{c}^{\infty}p(s|Y=1)ds}{P(Y=1)}=\int_{c}^{\infty}p(s|Y=1)ds \end{equation}
\begin{equation} PREC=\frac{TP}{TP+FP}=\frac{P(Y=1)\int_{c}^{\infty}p(s|Y=1)ds}{P(Y=1)\int_{c}^{\infty}p(s|Y=1)ds+P(Y=0)\int_{c}^{\infty}p(s|Y=0)ds} \end{equation}
显然可以得到我们所希望得到的结论:即TPR,FPR与正负样本比例无关,但是PREC与正负样本比例有关。从而论证了结论1。
但是为什么假设1就得出了不同的结论了呢?
再回头看一下假设1,它是通过改变先验分布来决定正负样本比例的,这样是很自然的。并且后验分布并不会随着样本比例变化而变化。
但是假设1呢?其后验分布其实是随着样本比例变化而变化的,所以假设1的问题就出在这里了。即后验分布的变化导致了各个指标的变化,甚至导致AUC的变化。
如果只改变先验,而不改变后验的话,P(Y=1|score)就会发生变化。
即得出了如下结论:
结论2:在构造数据的过程中,要通过改变先验来改变正负比例的变化,不应该动后验。然后预测的概率在样本分布变化的情况下,需要进一步做修正(即Calibration)。 |
对于假设1,通过重采样正样本来改变正负样本比例,则预测的概率需要修正,再修正过后,可以得到与假设2同样的结论,论证结论1的成立。
对于结论2,我们可以得到新的信息,通常对于样本不平衡问题,都会采用重采样的方法,从一定程度上缓解不平衡性。注意重采样方法保证了少样本类别的样本分布依旧是同分布的。如果某种,就需要仔细推敲一下了。还有如果你是预测概率,通常要做calibration,修正概率值,那你的修正数据集一定要与先验一致(不要采用与重采样比例一致的样本),要不然修正的概率值是有偏的,从而你的修正是白费功夫或者是有害的。
总结:
1) 分析问题需要仔细推敲,前提假设非常重要,真是一步错步步错。
2) 分析问题要全面深入,这样可以对旧问题的分析,得到新的知识。也即温故而知新吧。
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