NC16561 [NOIP2012]国王的游戏

NC16561 [NOIP2012]国王的游戏

题目

题目描述

恰逢 H 国国庆，国王邀请 \(n\) 位大臣来玩一个有奖游戏。首先，他让每个大臣在左、右手上面分别写下一个整数，国王自己也在左、右手上各写一个整数。然后，让这 \(n\) 位大臣排成一排，国王站在队伍的最前面。排好队后，所有的大臣都会获得国王奖赏的若干金币，每位大臣获得的金币数分别是：排在该大臣前面的所有人的左手上的数的乘积除以他自己右手上的数，然后向下取整得到的结果。

国王不希望某一个大臣获得特别多的奖赏，所以他想请你帮他重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖赏最多的大臣，所获奖赏尽可能的少。注意，国王的位置始终在队伍的最前面。

输入描述

第一行包含一个整数 \(n\) ，表示大臣的人数。

第二行包含两个整数 \(a\) 和 \(b\) ，之间用一个空格隔开，分别表示国王左手和右手上的整数。

接下来 \(n\) 行，每行包含两个整数 \(a\) 和 \(b\) ，之间用一个空格隔开，分别表示每个大臣左手和右手上的整数。

输出描述

一个整数，表示重新排列后的队伍中获奖赏最多的大臣所获得的金币数。

示例1

输入

3
1 1
2 3
7 4
4 6

输出

2

说明

按 1 、 2 、 3 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 2 ；

按 1 、 3 、 2 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 2 ；

按 2 、 1 、 3 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 2 ；

按 2 、 3 、 1 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 9 ；

按 3 、 1 、 2 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 2 ；

按 3 、 2 、 1 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 9 。

因此，奖赏最多的大臣最少获得 2 个金币，答案输出 2 。

备注

对于 \(20\%\) 的数据，有 \(1≤ n≤ 10\) , \(0 ＜ a,b ＜ 8\) ；

对于 \(40\%\) 的数据，有 \(1≤ n≤20\) , \(0 ＜a,b＜8\) ；

对于 \(60\%\) 的数据，有 \(1≤ n≤100\) ；

对于 \(60\%\) 的数据，保证答案不超过 \(10^9\) ；

对于 \(100\%\)的数据，有 \(1 ≤ n ≤1000\) , \(0 ＜ a,b ＜ 10000\) 。

题解

思路

知识点：贪心，排序。

注意到，交换两人顺序只会对这两个人的奖赏产生改变而不影响其他人。考虑以任意两人的最大值最小为目的排序，可以证明这种关系是一个偏序，因此可以考虑先通过相邻两人的顺序得到排序公式。

设 \(p_1,p_2\) 为相邻两人奖赏， \(p_1',p_2'\) 为两人逆序后的奖赏，且 \(max(p_1,p_2) \leq max(p_1',p_2')\)。

设之前所有人的左手数字乘积为 \(\Pi\) 。

所以有

\[p_1 = \frac {\Pi}{b_1},p_2 = \frac {\Pi \cdot a_1}{b_2}\\
p_1' = \frac {\Pi}{b_2},p_2' = \frac {\Pi \cdot a_2}{b_1}\\
\]

显然有，\(p_1 \leq p_2'\) 和 \(p_1' \leq p_2\) 。为了使 \(max(p_1,p_2) \leq max(p_1',p_2')\) ，那么就有 \(p_1 \leq p_2\) 。因此问题变为 \(p_2 \leq max(p_1',p_2')\) ，所以 只要再保证 \(p_2 \leq p_2'\) 即可，即

\[\frac {\Pi \cdot a_1}{b_2} \leq \frac {\Pi \cdot a_2}{b_1}\\
a_1b_1 \leq a_2b_2
\]

因此按此排序，最后序列的奖赏的最大值最小。

这道题需要高精度，有点恶心。

(以下复杂度不考虑高精度)

时间复杂度 \(O(n \log n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

/**-------------------------整数高精度-------------------------*/

///继承vector解决位数限制(当前最大位数是9倍整型最大值)，操作方便（注意size()返回无符号长整型，尽量不要直接把size放入表达式）
struct Huge_Int :vector<long long> {

    static const int WIDTH = 9;///压位数，压9位以下 比较安全
    static const long long BASE = 1e9;///单位基
    static const long long MAX_INT = ~(1 << 31);///最大整型
    bool SIGN;

    ///初始化，同时也可以将低精度转高精度、字符串转高精度
    ///无需单独写高精度数和低精度数的运算函数，十分方便
    Huge_Int(long long n = 0) { *this = n; }
    Huge_Int(const string &str) { *this = str; }

    ///格式化，包括进位和去前导0，用的地方很多，先写一个
    Huge_Int &format(int fixlen = 1) {//去0后长度必须大于等于fixlen，给乘法用的
        while (size() > fixlen && !back()) pop_back();//去除最高位可能存在的0
        if (!back()) SIGN = 0;
        for (int i = 1; i < size(); ++i) {
            (*this)[i] += (*this)[i - 1] / BASE;
            (*this)[i - 1] %= BASE;
        }//位内进位
        while (back() >= BASE) {
            push_back(back() / BASE);
            (*this)[size() - 2] %= BASE;
        }//位外进位
        return *this;//为使用方便，将进位后的自身返回引用
    }

    ///归零
    void reset() {
        clear();
        SIGN = 0;
    }

    ///重载等于，初始化、赋值、输入都用得到
    Huge_Int operator=(long long n) {
        reset();
        SIGN = n < 0;
        if (SIGN) n = -n;
        push_back(n);
        format();
        return *this;
    }
    Huge_Int operator=(const string &str) {
        reset();
        if (str.empty()) push_back(0);
        SIGN = str[0] == '-';
        for (int i = str.length() - 1;i >= 0 + SIGN;i -= WIDTH) {
            long long tmp = 0;
            for (int j = max(i - WIDTH + 1, 0 + SIGN);j <= i;j++)
                tmp = (tmp << 3) + (tmp << 1) + (str[j] ^ 48);
            push_back(tmp);
        }
        format();
        return *this;
    }

    ///重载输入输出
    friend istream &operator>>(istream &is, Huge_Int &tmp) {
        string str;
        if (!(is >> str)) return is;
        tmp = str;
        return is;
    }
    friend ostream &operator<<(ostream &os, const Huge_Int &tmp) {
        if (tmp.empty()) os << 0;
        else {
            if (tmp.SIGN) os << '-';
            os << tmp[tmp.size() - 1];
        }
        for (int i = tmp.size() - 2;i >= 0;i--) {
            os << setfill('0') << setw(WIDTH) << tmp[i];
        }
        return os;
    }

    ///重载逻辑运算符，只需要小于，其他的直接代入即可
    ///常量引用当参数，避免拷贝更高效
    friend bool operator<(const Huge_Int &a, const Huge_Int &b) {
        if (a.SIGN ^ b.SIGN) return a.SIGN;
        if (a.size() != b.size()) return a.SIGN ? a.size() > b.size() :a.size() < b.size();
        for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
            if (a[i] != b[i])return a.SIGN ? a[i] > b[i] : a[i] < b[i];
        return 0;
    }
    friend bool operator>(const Huge_Int &a, const Huge_Int &b) { return b < a; }
    friend bool operator>=(const Huge_Int &a, const Huge_Int &b) { return !(a < b); }
    friend bool operator<=(const Huge_Int &a, const Huge_Int &b) { return !(a > b); }
    friend bool operator!=(const Huge_Int &a, const Huge_Int &b) { return a < b || b < a; }
    friend bool operator==(const Huge_Int &a, const Huge_Int &b) { return !(a != b); }

    ///重载负号
    friend Huge_Int operator-(Huge_Int a) { return a.SIGN = !a.SIGN, a; }

    ///绝对值函数
    friend Huge_Int abs(Huge_Int a) { return a.SIGN ? (-a) : a; }

    ///加法，先实现+=，这样更简洁高效
    friend Huge_Int &operator+=(Huge_Int &a, const Huge_Int &b) {
        if (a.SIGN ^ b.SIGN) return a -= (-b);
        if (a.size() < b.size()) a.resize(b.size());
        for (int i = 0; i < b.size(); i++) a[i] += b[i];//被加数要最大位，并且相加时不要用未定义区间相加
        return a.format();
    }
    friend Huge_Int operator+(Huge_Int a, const Huge_Int &b) { return a += b; }
    friend Huge_Int &operator++(Huge_Int &a) { return a += 1; }
    friend Huge_Int operator++(Huge_Int &a, int) {
        Huge_Int old = a;
        ++a;
        return old;
    }

    ///减法，由于后面有交换，故参数不用引用
    friend Huge_Int &operator-=(Huge_Int &a, Huge_Int b) {
        if (a.SIGN ^ b.SIGN) return a += (-b);
        if (abs(a) < abs(b)) {
            Huge_Int t = a;
            a = b;
            b = t;
            a.SIGN = !a.SIGN;
        }
        for (int i = 0; i < b.size(); a[i] -= b[i], i++) {
            if (a[i] < b[i]) {//需要借位
                int j = i + 1;
                while (!a[j]) j++;
                while (j > i) a[j--]--, a[j] += BASE;
            }
        }
        return a.format();
    }
    friend Huge_Int operator-(Huge_Int a, const Huge_Int &b) { return a -= b; }
    friend Huge_Int &operator--(Huge_Int &a) { return a -= 1; }
    friend Huge_Int operator--(Huge_Int &a, int) {
        Huge_Int old = a;
        --a;
        return old;
    }

    ///乘法，不能先实现*=，因为是类多项式相乘，每位都需要保留，不能覆盖
    friend Huge_Int operator*(const Huge_Int &a, const Huge_Int &b) {
        Huge_Int n;
        n.SIGN = a.SIGN ^ b.SIGN;
        n.assign(a.size() + b.size() - 1, 0);//表示乘积后最少的位数(可能会被format消掉，因此添加了format参数)
        for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < b.size(); j++)
                n[i + j] += a[i] * b[j];
            n.format(n.size());//提前进位
        }
        return n;//最后进位可能会溢出
    }
    friend Huge_Int &operator*=(Huge_Int &a, const Huge_Int &b) { return a = a * b; }

    ///带余除法函数，方便除法和模运算，暂时写不出高效的高精与高精的除法
    friend Huge_Int divmod(Huge_Int &a, const Huge_Int &b) {//O(logn)，待修改
        Huge_Int n;
        if (-MAX_INT - 1 <= b && b <= MAX_INT) {//除数小于等于整型才能用这个，不然会溢出
            n = a;
            n.SIGN = a.SIGN ^ b.SIGN;
            long long rest = 0;
            long long bl = 0;
            for (int i = b.size() - 1;i >= 0;i--) bl = bl * BASE + b[i];
            for (int i = n.size() - 1;i >= 0;i--) {
                rest *= BASE;
                n[i] += rest;
                rest = n[i] % bl;
                n[i] /= bl;
            }
            a = a.SIGN ? (-rest) : rest;
            return n.format();
        }
        else {
            n.SIGN = a.SIGN ^ b.SIGN;
            for (int i = a.size() - b.size(); abs(a) >= abs(b); i--) {//减法代替除法
                Huge_Int c, d;
                d.assign(i + 1, 0);
                d.back() = 1;
                d.SIGN = n.SIGN;
                c = b * d;//提高除数位数进行减法
                while (abs(a) >= abs(c)) a -= c, n += d;
                d.pop_back();
                if (!d.empty()) {//遍历压的位
                    d.back() = BASE / 10;
                    for (int i = 1;i < WIDTH;i++) {
                        c = b * d;
                        while (abs(a) >= abs(c)) a -= c, n += d;
                        d.back() /= 10;
                    }
                }
            }
            return n;
        }
    }
    friend Huge_Int operator/(Huge_Int a, const Huge_Int &b) { return divmod(a, b); }
    friend Huge_Int &operator/=(Huge_Int &a, const Huge_Int &b) { return a = a / b; }
    friend Huge_Int &operator%=(Huge_Int &a, const Huge_Int &b) { return divmod(a, b), a; }
    friend Huge_Int operator%(Huge_Int a, const Huge_Int &b) { return a %= b; }
};

struct pk {
    Huge_Int a, b;
}p[1007];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0;i <= n;i++) {
        cin >> p[i].a >> p[i].b;
    }
    sort(p + 1, p + n + 1, [&](pk a, pk b) {return a.a * a.b < b.a *b.b;});
    Huge_Int ans = 0, sum = 1;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        sum *= p[i - 1].a;
        ans = max(ans, sum / p[i].b);
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}