Bellman_Ford

Source：http://www.cnblogs.com/Jason-Damon/archive/2012/04/21/2460850.html

摘自百度百科

Bellman-ford算法是求含负权图的单源最短路径算法，效率很低，但代码很容易写。即进行不停地松弛（relaxation），每次松弛把每条边都更新一下，若n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环(即负权回路，本文最后有解释)，无法得出结果，否则就成功完成。Bellman-ford算法有一个小优化：每次松弛先设一个旗帜flag，初值为FALSE，若有边更新则赋值为TRUE，最终如果还是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，所以SPFA算法用队列进行了优化，效果十分显著，高效难以想象。SPFA还有SLF，LLL，滚动数组等优化。

　Dijkstra算法中不允许边的权是负权，如果遇到负权，则可以采用Bellman-Ford算法。

　　Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

　　适用条件&范围

　　1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

　　2.有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

　　3.边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

　　4.差分约束系统;

　　Bellman-Ford算法描述：

　　1,.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

　　2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

　　3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

　　描述性证明：

　　首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

　　其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

　　在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

　　每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）

　　如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

　　如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

负权回路

在一个图里每条边都有一个权值（有正有负)
如果存在一个环（从某个点出发又回到自己的路径），而且这个环上所有权值之和是负数，那这就是一个负权环，也叫负权回路
存在负权回路的图是不能求两点间最短路的，因为只要在负权回路上不断兜圈子，所得的最短路长度可以任意。

 The  PKU  3259

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
const int INF=99999;
const int N=100;
int n,m,w;
using namespace std;
struct node//结构体类型名称可以省略
{
int sta,end,time;
void set(int x,int y,int s)//映射
{
sta=x;
end=y;
time=s;
}
} edge[N];
int dis[N];
bool Bellman_Ford(int edge_num)
{
memset(dis,INF,sizeof(dis));
dis[1]=0;
int i,j;
for(i=0; i<n; i++)
{
bool flag=false;
for(j=0; j<edge_num; j++)
{
int tx=edge[j].sta,ty=edge[j].end;
if(dis[ty]>dis[tx]+edge[j].time)
{
dis[ty]=dis[tx]+edge[j].time;
flag=true;
}
}

if(!flag)
break;
}

if(i==n)
return true;
else
return false;

}
int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
int edge_num=0;
cin>>n>>m>>w;
int x,y,t;
while(m--)
{
cin>>x>>y>>t;
edge[edge_num++].set(x,y,t);
edge[edge_num++].set(y,x,t);

}
while(w--)
{
cin>>x>>y>>t;
edge[edge_num++].set(x,y,-t);

}

puts(Bellman_Ford(edge_num)?"YES":"NO");
}
return 0;
}
/*输入：(pku 3259)
2
3 3 1
1 2 2
1 3 4
2 3 1
3 1 3

3 2 1
1 2 3
2 3 4
3 1 8

NO
YES
*/