GCD - Extreme(欧拉函数变形)
题目链接:https://vjudge.net/problem/UVA-11426
题目大意: 给出整数n∈[2,4000000],求解∑gcd(i,j),其中(i,j)满足1≤i<j≤n.
的确没有想到是欧拉函数,这怎么会想到欧拉函数呢? 又不是要我们求所有gcd为1的个数 那些gcd不为1的怎么办呢? 当时怎么就没想到呢 除过去不就变为1了吗 自己是真的菜。。。
还是要多做题,把思维开阔起来!!!
思路在代码中 直接看代码:
/**
欧拉函数三个性质
是素数的话 欧拉函数值等于它本身-1
如果a是素数 b%a==0 则phi[b*a]=phi[b]*a
如果b%a!=0 则phi[b*a]=phi[b]*phi[a]
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=4e6+;
LL N;
LL phi[maxn],vis[maxn],p[maxn];//欧拉函数值 是否是素数 存素数
LL f[maxn],ans[maxn];
void Init()//求欧拉函数值
{
phi[]=;
int num=;
for(int i=;i<maxn;i++)
{
if(!vis[i])//是素数
{
p[num++]=i;
phi[i]=i-;//素数的欧拉函数值就等于它的值-1
}
for(int j=;j<num&&p[j]*i<maxn;j++)
{
vis[p[j]*i]=true;//肯定不是素数
if(i%p[j]==)
{
phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];
break;
}
else phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
}
} // for(int i=1;i<=10;i++) cout<<i<<":"<<phi[i]<<" ";
return ;
}
/** 假设n等于4
(1,2) (2,3) (3,4)
(1,3) (2,4)
(1,4) 假设f[n]=(1,n)+(2,n)+···(n-1,n)
则 ans=f[2]+f[3]+···+f[n] 所以我们要求的就是f[n] 假设 gcd(1,n) gcd(2,n) ··· gcd(n-1,n)中等于i的有si个
那么gcd(s1,n)=i gcd(s2,n)=i gcd(si,n)=i
则 gcd(s1/i,n/i)=1 gcd(s2/i,n/i)=1 gcd(si/i,n/i)=1
这岂不是转换成了 总个数phi[n/i]的情形了 所以f[n]=i*phi[n/i] */
void solve()//存f[n]
{
phi[]=;
for(int i=;i<maxn;i++)//遍历i的值 同时得到f[n]的部分值
{
for(int j=i;j<maxn;j+=i)//遍历n的值
{
f[j]+=i*phi[j/i];
}
}
for(int i=;i<maxn;i++) ans[i]=ans[i-]+f[i];
return ;
}
int main()
{
Init();
solve();
//while(scanf("%lld",&N)!=EOF)
while(cin>>N)
{
if(N==) break;
cout<<ans[N]<<endl;
//printf("%lld\n",ans[N]);
}
return ;
}
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