[51nod]1229 序列求和 V2（数学+拉格朗日差值）

题面

传送门

题解

这种颓柿子的题我可能死活做不出来……

首先\(r=0\)……算了不说了，\(r=1\)就是个裸的自然数幂次和直接爱怎么搞怎么搞了，所以以下都假设\(r>1\)

设

\[s_p=\sum_{i=1}^n i^pr^i
\]

我们要求的就是\(s_k\)

因为有

\[s_k=\sum_{i=1}^n i^kr^i
\]

\[rs_k=\sum_{i=2}^{n+1}r^{i}(i-1)^k
\]

两个柿子减一减

\[(r-1)s_k=r^{n+1}n^k-r+\sum_{i=2}^nr^i\left((i-1)^k-i^k\right)
\]

然后来考虑后面这个东西

\[\begin{aligned}
\sum_{i=2}^nr^i\left((i-1)^k-i^k\right)
&=\sum_{i=2}^nr^i\left(\sum_{j=0}^k{k\choose j}i^j(-1)^{k-j}-i^k\right)\\
&=\sum_{i=2}^nr^i\sum_{j=0}^{k-1}{k\choose j}i^j(-1)^{k-j}\\
&=\sum_{j=0}^{k-1}{k\choose j}(-1)^{k-j}\sum_{i=2}^nr^ii^j\\
&=\sum_{j=0}^{k-1}{k\choose j}(-1)^{k-j}\left(s(j)-r\right)\\
\end{aligned}
\]

那么就可以\(O(k^2)\)递推了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int N=2005,P=1e9+7;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R ll y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
int fac[N],ifac[N],inv[N],Pre[N],suf[N],f[N],s[N];
ll n,r;int k,m;
inline int C(R int n,R int m){return 1ll*fac[n]*ifac[m]%P*ifac[n-m]%P;}
void init(int n=N-1){
	inv[0]=inv[1]=ifac[0]=ifac[1]=fac[0]=fac[1]=1;
	fp(i,2,n){
		fac[i]=mul(fac[i-1],i),
		inv[i]=mul(P-P/i,inv[P%i]),
		ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
	}
}
int Lagrange(){
	n%=P;
	fp(i,1,k+2)f[i]=add(f[i-1],ksm(i,k));
	if(n<=k+2)return f[n];
	m=k+2;
	Pre[0]=1;fp(i,1,m)Pre[i]=mul(Pre[i-1],n-i);
	suf[m+1]=1;fd(i,m,1)suf[i]=mul(suf[i+1],n-i);
	int res=0,ty=(m-1)&1?P-1:1;
	fp(i,1,m)res=add(res,1ll*f[i]*ty%P*Pre[i-1]%P*suf[i+1]%P*ifac[m-i]%P*ifac[i-1]%P),ty=P-ty;
	return res;
}
int calc(){
	if(!r)return 0;
	R int p=ksm(r,n+1),q=1,invr=ksm(r-1,P-2),ty;
	s[0]=mul(dec(p,r),invr),n%=P;
	fp(i,1,k){
		q=mul(q,n),s[i]=dec(mul(p,q),r),ty=(i&1)?P-1:1;
		fp(j,0,i-1)s[i]=add(s[i],1ll*C(i,j)*ty%P*dec(s[j],r)%P),ty=P-ty;
		s[i]=mul(s[i],invr);
	}
	return s[k];
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	init();
	int T;scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%d%lld\n",&n,&k,&r),r%=P;
		printf("%d\n",r==1?Lagrange():calc());
	}
	return 0;
}