【ARC069F】Flags 2-sat+线段树优化建图+二分

Description

​ 数轴上有 n 个旗子，第 ii 个可以插在坐标 xi或者 yi，最大化两两旗子之间的最小距离。

Input

​ 第一行一个整数 N。

​ 接下来 N 行每行两个整数 xi,yi

Output

​ 一个整数表示答案。

Sample Input

Sample #1
3
1 3
2 5
1 9

Sample #2
5
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2

Sample #3
22
93 6440
78 6647
862 11
8306 9689
798 99
801 521
188 206
6079 971
4559 209
50 94
92 6270
5403 560
803 83
1855 99
42 504
75 484
629 11
92 122
3359 37
28 16
648 14
11 269

Sample Output

Sample #1
4

Sample #2
0

Sample #3
17

HINT

​ 2≤N≤10^4

​ 1≤xi,yi≤10^9

Sol

线段树优化建图+2-sat+二分。

首先我们二分答案k，然后把一个点向离他距离为k以内的点的反点连边（2-sat的边表示依赖关系），之后直接判断有没有解，但是显然这样会TLE，因为边的个数是\(n^2\)级别的。

所以考虑线段树优化建图，步骤为：

1.按照2n个点排序，建出线段树，每个点向他的父亲连边，最底层点向这个点代表的点的反点连边（因为2-sat连的是反点，别的题没有必要）

2.对于每个点进行编号（一共2n个）。

3.我们考虑每个点，找到和他距离k以内的点的两段区间，然后用这个点按照线段树区间查找的方式向logn个区间连边。（注意一定要跳过自己对应的点，因为这代表着自己的反点，不能连边）

中间有点细节，要注意一下。

之后就是2-sat的经典应用了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct seg{int l,r,id;seg(int l=0,int r=0,int id=0):l(l),r(r),id(id){}}s[500005];
int n,P,Index,L,p[100005][2],dfn[100005],low[100005],in[100005],cnt,bel[100005],b[100005],x[100005],y[100005],X[100005],Y[100005],vis[100005];
pair<int,int>pos[100005];vector<int>e[100005];stack<int>q;
void build(int x,int L,int R)
{
	s[x]=seg(L,R,++P);
	if(x>>1) e[s[x>>1].id].push_back(s[x].id);
	if(L==R){e[s[x].id].push_back(p[pos[L].first][pos[L].second^1]);return;}
	int mid=(L+R)>>1;build(x*2,L,mid);build(x*2+1,mid+1,R);
}
void ins(int x,int L,int R,int u)
{
	if(L>R) return;
	if(s[x].l==L&&s[x].r==R){e[u].push_back(s[x].id);return;}
	int mid=(s[x].l+s[x].r)>>1;
	if(R<=mid) ins(x*2,L,R,u);else if(L>mid) ins(x*2+1,L,R,u);
	else ins(x*2,L,mid,u),ins(x*2+1,mid+1,R,u);
}
void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++Index;in[x]=1;q.push(x);
	for(int i=0;i<e[x].size();i++)
		if(!dfn[e[x][i]]) tarjan(e[x][i]),low[x]=min(low[x],low[e[x][i]]);
		else if(in[e[x][i]]) low[x]=min(low[x],dfn[e[x][i]]);
	if(dfn[x]==low[x]) for(cnt++;;){int now=q.top();q.pop();in[now]=0;bel[now]=cnt;if(now==x) break;}
}
bool chk(int k)
{
	P=cnt=Index=0;for(int i=0;i<=n*5;i++) e[i].clear();while(!q.empty()) q.pop();
	memset(dfn,0,sizeof(dfn));memset(low,0,sizeof(low));memset(in,0,sizeof(in));memset(bel,0,sizeof(bel));
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i][0]=++P,p[i][1]=++P;
	build(1,1,L);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	ins(1,upper_bound(b+1,b+L+1,X[i]-k)-b,x[i]-1,p[i][0]),ins(1,x[i]+1,lower_bound(b+1,b+L+1,X[i]+k)-b-1,p[i][0]),
	ins(1,upper_bound(b+1,b+L+1,Y[i]-k)-b,y[i]-1,p[i][1]),ins(1,y[i]+1,lower_bound(b+1,b+L+1,Y[i]+k)-b-1,p[i][1]);
	for(int i=1;i<=P;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);int ok=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(bel[p[i][0]]==bel[p[i][1]]) ok=0;
	return ok;
}
int find(int I,int P,int x)
{
	int res,l=1,r=L;
	for(int mid=(l+r)>>1;l<=r;mid=(l+r)>>1)
	{
		if(b[mid]==x&&!vis[mid]) res=mid,r=mid-1;
		else if(b[mid]>x) r=mid-1;else l=mid+1;
	}
	vis[res]=1;pos[res]=make_pair(I,P);return res;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);int l=0,r=1e9,ans;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&X[i],&Y[i]),b[++L]=X[i],b[++L]=Y[i];
	sort(b+1,b+L+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=find(i,0,X[i]),y[i]=find(i,1,Y[i]);
	for(int mid=(l+r)>>1;l<=r;mid=(l+r)>>1) if(chk(mid)) l=mid+1,ans=mid;else r=mid-1;
	printf("%d\n",ans);
}