【BZOJ4176】Lucas的数论

Description

去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。

在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数。他现在长大了,题目也变难了。
求如下表达式的值:
 
其中 表示ij的约数个数。
他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值。

Input

第一行一个整数n。

Output

一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值。

Sample Input

2

Sample Output

8

HINT

对于100%的数据n <= 10^9。

题解:前置技能:

然后直接上莫比乌斯反演

用杜教筛处理μ(d),然后喜闻乐见的分块~

  1. #include <cstdio>
  2. #include <cstring>
  3. #include <iostream>
  4. #include <map>
  5. #define mod 1000000007
  6. using namespace std;
  7. const int m=10000000;
  8. typedef long long ll;
  9. int n,num;
  10. ll ans;
  11. int mu[m+10],sm[m+10],pri[m+10];
  12. bool np[m+10];
  13. map<ll,ll> mp;
  14. ll getsm(ll x)
  15. {
  16. if(x<=m) return sm[x];
  17. if(mp[x]) return mp[x];
  18. ll ret=1,i,last;
  19. for(i=2;i<=x;i=last+1)
  20. {
  21. last=x/(x/i);
  22. ret=(ret-(last-i+1)*getsm(x/i)%mod+mod)%mod;
  23. }
  24. mp[x]=ret;
  25. return ret;
  26. }
  27. ll getf(ll x)
  28. {
  29. ll ret=0,i,last;
  30. for(i=1;i<=x;i=last+1)
  31. {
  32. last=x/(x/i);
  33. ret=(ret-(last-i+1)*(x/i)%mod+mod)%mod;
  34. }
  35. return ret*ret%mod;
  36. }
  37. int main()
  38. {
  39. scanf("%d",&n);
  40. ll i,j,last;
  41. sm[1]=mu[1]=1;
  42. for(i=2;i<=m;i++)
  43. {
  44. if(!np[i]) pri[++num]=i,mu[i]=-1;
  45. sm[i]=sm[i-1]+mu[i];
  46. for(j=1;j<=num&&i*pri[j]<=m;j++)
  47. {
  48. np[i*pri[j]]=1;
  49. if(i%pri[j]==0)
  50. {
  51. mu[i*pri[j]]=0;
  52. break;
  53. }
  54. mu[i*pri[j]]=-mu[i];
  55. }
  56. }
  57. for(i=1;i<=n;i=last+1)
  58. {
  59. last=n/(n/i);
  60. ans=(ans+(getsm(last)-getsm(i-1)+mod)%mod*getf(n/i)%mod)%mod;
  61. }
  62. printf("%lld",ans);
  63. return 0;
  64. }

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